Question

12．定義：若拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則稱這條拋物線為“勾股拋物線”．
（1）下列拋物線：①y=x²-2x；②y=-x²-6x-8；③y=x²-4x+2是勾股拋物線的有①②（填序號(hào)）．
（2）①觀察你得到的勾股解析式，試猜想，在勾股拋物線y=ax²+bx+c中，b²-4ac=4（不必證明）；
②若y=x²+4x+c是勾股拋物線，求c的值；
（3）如圖，勾股拋物線y=-x²+1交y軸于點(diǎn)C，現(xiàn)有一直線繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，始終保持與拋物線交M、N兩點(diǎn)（M在N的左側(cè)）試判斷△MCN的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，頂點(diǎn)為C．只需求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再運(yùn)用勾股定理的逆定理加以驗(yàn)證即可；
（2）①只需計(jì)算①、②兩個(gè)勾股解析式對(duì)應(yīng)的b²-4ac，就可給出猜想；
②只需利用①中的猜想就可求出c；
（3）設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁，x₂分別是方程kx=-x²+1即x²+kx-1=0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=-k，x₁x₂=-1，由y=-x²+1可得點(diǎn)C（0，1），由點(diǎn)M、N在直線y=kx上可得M（x₁，kx₁），N（x₂，kx₂），然后只需運(yùn)用勾股定理及其逆定理就可解決問題．

解答 解：（1）設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，頂點(diǎn)為C．
①令y=0，得x²-2x=0，
解得x₁=0，x₂=2，
∴A（0，0），B（2，0），AB=2．
由y=x²-2x=（x-1）²-1得頂點(diǎn)C（1，-1），
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=4=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
②令y=0，得-x²-6x-8=0，
解得x₁=-4．x₂=-2，
∴A（-4，0），B（-2，0），AB=2．
由y=-x²-6x-8=-（x+3）²+1得頂點(diǎn)C（-3，1），
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=4=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
③令y=0，得x²-4x+2=0，
解得x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$，
∴A（2-$\sqrt{2}$，0），B（2+$\sqrt{2}$，0），AB=2$\sqrt{2}$．
由y=x²-4x+2=（x-2）²-2得頂點(diǎn)C（2，-2），
∴AC=BC=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴AC²+BC²=12≠AB²，
∴△ABC不是直角三角形．
故答案為①②；

（2）①對(duì)于拋物線y=x²-2x，有b²-4ac=（-2）²-0=4；
②對(duì)于拋物線y=-x²-6x-8，有b²-4ac=（-6）²-4×（-1）×（-8）=4．
故猜想：b²-4ac=4，
故答案為4；
②由①可知b²-4ac=4，
∴16-4c=4，
∴c=3；

（3）設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁，x₂分別是方程kx=-x²+1即x²+kx-1=0的兩根，
則有x₁+x₂=-k，x₁x₂=-1．
由y=-x²+1可得點(diǎn)C（0，1），
∵點(diǎn)M、N在直線y=kx上，
∴M（x₁，kx₁），N（x₂，kx₂），
∴MN²=（x₁-x₂）²+k²（x₁-x₂）²
=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]
=（1+k²）（k²+4）
=k⁴+5k²+4，
MC²+CN²=x₁²+（kx₁-1）²+x₂²+（kx₂-1）²
=x₁²+k²x₁²-2kx₁+1+x₂²+k²x₂²-2kx₂+1
=（1+k²）（x₁²+x₂²）-2k（x₁+x₂）+2
=（1+k²）（k²+2）-2k•（-k）+2
=k⁴+5k²+4，
∴MN²=MC²+CN²，
∴△MCN為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與拋物線的交點(diǎn)問題、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、完全平方公式、勾股定理及其逆定理、解一元二次方程等知識(shí)，運(yùn)用勾股定理的逆定理是解決本題的關(guān)鍵．