Question

3．如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于點E，F(xiàn)．
（1）證明：當∠AOF=90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）試說明在旋轉過程中，AF與CE總保持相等；
（3）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時∠AOF度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可證明．
（2）只要證明△AOF≌△COE即可．
（3）結論：四邊形BEDF可能是菱形．根據(jù)菱形的對角線互相垂直即可解決問題．

解答 （1）證明：當∠AOF=90°時，AB∥EF，
∵AF∥BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形．

（2）證明：∵四邊形ABEF是平行四邊形，
∴AO=CO，AF∥EC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠OCE}\\{OA=OC}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE．

（3）解：結論：四邊形BEDF可能是菱形．
∵△AOF≌△COE，
∴OE=OF，
∴EF與BD互相平分，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴當EF⊥BD時，四邊形BEDF是菱形，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{5-1}$=2，
∴OA=1=AB，
∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=45°，
∴當四邊形BEDF是菱形時，∠AOF=45°．

點評 本題考查平行四邊形的判定和性質、菱形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考�？碱}型．