Question

14．已知，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，點(diǎn)F為CD上任意一點(diǎn)（不與C、D重合），過(guò)點(diǎn)F作CD的垂線，交BD于點(diǎn)E，連接AE．
（1）①依題意補(bǔ)全圖1；
②線段EF、CF、AE之間的等量關(guān)系是AE²=EF²+CF²．
（2）在圖1中將△DEF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F、E、C在一條直線上（如圖2）．線段EF、CE、AE之間的等量關(guān)系是AE=CE+2EF．寫出判斷線段EF、CE、AE之間的等量關(guān)系的思路（可以不寫出證明過(guò)程）

Answer 1

分析 （1）①依題意補(bǔ)全圖形如圖1所示；
②由菱形的性質(zhì)得到AE=CE，然后用勾股定理得到CE²=EF²+CF²，代換即可；
（2）作輔助線，得到DE=DG，∠EDG=2∠EDF，再由旋轉(zhuǎn)和菱形的性質(zhì)得到∠ADE=∠CDG，判斷出△ADE≌△CDG，即AE=CG，最后代換即可．

解答 解（1）①依題意補(bǔ)全圖形如圖1所示，

②連接CE，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BD⊥AC，BD平分AC，
∴AE=CE，
∵EF⊥CD，
∴∠EFC=90°，
根據(jù)勾股定理得，CE²=EF²+CF²，
∴AE²=EF²+CF²，
故答案為AE²=EF²+CF²；
（2）如圖2，

延長(zhǎng)EF至G，使EF=FG，連接DG，
∴EG=2EF，
∵DF⊥CF，
∴DE=DG，∠EDG=2∠EDF
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADC=2∠0DC=60°，
由旋轉(zhuǎn)得，∠ODC=∠EDF，
∴∠ADC=∠EDG，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG=CE+EG=CE+2EF，
∴AE=CE+2EF，
故答案為AE=CE+2EF．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線．