Question

3．如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象與正方形的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，N，ND⊥x軸，垂足為D，連結(jié)OM，ON，MN，下列結(jié)論：①△OCN≌△OAM；②MN=CN+AM；③四邊形DAMN與△MON面積相等；④若∠MON=45°，MN=4，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2$\sqrt{2}$+2），其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得到S_△ONC=S_△OAM=$\frac{1}{2}$k，即$\frac{1}{2}$OC•NC=$\frac{1}{2}$OA•AM，而OC=OA，則NC=AM，由SAS得出△OCN≌△OAM，①正確；
根據(jù)全等的性質(zhì)得到ON=OM，由于k的值不能確定，則∠MON的值不能確定，無法確定△ONM為等邊三角形，得出②錯(cuò)誤；
根據(jù)S_△OND=S_△OAM=$\frac{1}{2}$k和S_△OND+S_{四邊形DAMN}=S_△OAM+S_△OMN，即可得到S_{四邊形DAMN}=S_△OMN；③正確；
作NE⊥OM于E點(diǎn)，則△ONE為等腰直角三角形，設(shè)NE=x，則OM=ON=$\sqrt{2}$x，EM=$\sqrt{2}$x-x=（$\sqrt{2}$-1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x²=8+4$\sqrt{2}$，所以O(shè)N²=（$\sqrt{2}$x）²=16+8$\sqrt{2}$，易得△BMN為等腰直角三角形，得到BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$MN=2$\sqrt{2}$，設(shè)正方形ABCO的邊長(zhǎng)為a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值為2$\sqrt{2}$+2，從而得到C點(diǎn)坐標(biāo)，④正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：∵點(diǎn)M、N都在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴S_△ONC=S_△OAM=$\frac{1}{2}$k，即$\frac{1}{2}$OC•NC=$\frac{1}{2}$OA•AM，
∵四邊形ABCO為正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
在△OCN和△OAM中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OA}&{\;}\\{∠OCN=∠OAM}&{\;}\\{CN=AM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OCN≌△OAM（SAS），①正確；
∴ON=OM，
∵k的值不能確定，
∴∠MON的值不能確定，
∴△ONM只能為等腰三角形，不能確定為等邊三角形，
∴ON≠M(fèi)N，
∴MN≠CN+AM；②錯(cuò)誤；
∵S_△OND=S_△OAM=$\frac{1}{2}$k，
而S_△OND+S_{四邊形DAMN}=S_△OAM+S_△OMN，
∴四邊形DAMN與△MON面積相等，③正確；
作NE⊥OM于E點(diǎn)，如圖，
∵∠MON=45°，
∴△ONE為等腰直角三角形，
∴NE=OE，設(shè)NE=x，則ON=$\sqrt{2}$x，
∴OM=$\sqrt{2}$x，
∴EM=$\sqrt{2}$x-x=（$\sqrt{2}$-1）x，
在Rt△NEM中，MN=4，
∵M(jìn)N²=NE²+EM²，即4²=x²+[（$\sqrt{2}$-1）x]²，
∴x²=8+4$\sqrt{2}$，
∴ON²=（$\sqrt{2}$x）²=16+8$\sqrt{2}$，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN為等腰直角三角形，
∴BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$MN=2$\sqrt{2}$，
設(shè)正方形ABCO的邊長(zhǎng)為a，則OC=a，CN=a-2$\sqrt{2}$，
在Rt△OCN中，∵OC²+CN²=ON²，
∴a²+（a-2$\sqrt{2}$）²=16+8$\sqrt{2}$，
解得a₁=2$\sqrt{2}$+2，a₂=-2（舍去），
∴OC=2$\sqrt{2}$+2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2$\sqrt{2}$+2），④正確．
正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3個(gè)，故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)的幾何意義和正方形的性質(zhì)；熟練運(yùn)用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算．