Question

12．如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分別是AD、CD上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），且AE+CF=4，連接BE、EF、FB．
（1）試探究BE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）求EF的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）由在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，BD=4，易得△ABD、△CBD都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，繼而證得△BDE≌△BCF（SAS），則可證得結(jié)論；
（2）由△BDE≌△BCF，易證得△BEF是正三角形，繼而可得當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D或點(diǎn)A時(shí)，BE的最大，當(dāng)BE⊥AD，即E為AD的中點(diǎn)時(shí)，BE的最�。�

解答 解：（1）BE=BF，證明如下：
∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，BD=4，
∴△ABD、△CBD都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，
∵AE+CF=4，
∴CF=4-AE=AD-AE=DE，
又∵BD=BC=4，∠BDE=∠C=60°，
在△BDE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{∠BDE=∠C}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴BE=BF；

（2）∵△BDE≌△BCF，
∴∠EBD=∠FBC，
∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，
∴∠EBF=∠DBC=60°，
又∵BE=BF，
∴△BEF是正三角形，
∴EF=BE=BF，
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D或點(diǎn)A時(shí)，BE的最大值為4，
當(dāng)BE⊥AD，即E為AD的中點(diǎn)時(shí)，BE的最小值為$2\sqrt{3}$，
∵EF=BE，
∴EF的最大值為4，最小值為$2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△BDE≌△BCF是解此題的關(guān)鍵．