Question

17．已知△ABC，AB=AC，∠ABC=45°，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊作正方形ADEF（A，D，E，F(xiàn)按逆時(shí)針排列），連接CF．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：CF+CD=$\sqrt{2}$CA；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，請(qǐng)寫出CF，CD，CA之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出CF，CD，CA之間的數(shù)量關(guān)系；
（4）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)你用文字語(yǔ)言描述點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡，并直接寫出DB，DC，DA之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=$\sqrt{2}$CA，由正方形的性質(zhì)得到AD=AF，∠DAF=90°，于是得到∠BAD=∠CAF=90°-∠DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）方法同（1）（2）；
（4）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是過(guò)點(diǎn)C且垂直于BC的直線；根據(jù)勾股定理得到DF=$\sqrt{2}$AD，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=AC，∠ABC=45°，
∴∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{2}$CA，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF=90°-∠DAC，
在△BAD和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，
∴CF+CD=BC=$\sqrt{2}$CA；
（2）解：CF-CD=$\sqrt{2}$AC．理由如下：
∵∠BAD=90°+∠CAD，
∠CAF=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD=BC+CD，
∴CF-CD=BC=$\sqrt{2}$AC；
（3）AC、CD與CF的關(guān)系：CF=CD-$\sqrt{2}$CA，
理由：與（1）同法可證△BAD≌△CAF，從而可得：
BD=CF，
即：CF=CD-$\sqrt{2}$CA；
（4）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是過(guò)點(diǎn)C且垂直于BC的直線；
在正方形ADEF中，對(duì)角線DF=$\sqrt{2}$AD，
在Rt△CDF中，
DF²=CD²+CF²，
由（1）、（2）證得BD=CF，
∴CD²+BD²=2AD²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．