Question

如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．

（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；

（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1．設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標分別為 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代數(shù)式表示x2－x1，并求出當S=36時點A1的坐標；

（3）在圖1中，設(shè)點D的坐標為(1，3)，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動．P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）對稱軸：直線x=1，解析式：y=x2-x，頂點坐標：M（1，-）．(2) A1（6，3）．(3) t=.

【解析】

試題分析：（1）已知了O、A、B的坐標，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進而可得到其對稱軸方程和頂點M的坐標．

（2）在兩條直線平移的過程中，梯形的上下底發(fā)生了改變，但是梯形的高沒有變化，仍為3，即y2-y1=3，可根據(jù)拋物線的解析式，用x1、x2表示出y1、y2，然后聯(lián)立y2-y1=3，可得到第一個關(guān)于x1、x2的關(guān)系式①；在兩條直線平移過程中，拋物線的對稱軸沒有變化，可用x1、x2以及拋物線的對稱軸解析式表示出梯形上下底的長，進而可得到梯形面積的表達式，這樣可得到另外一個x1、x2的關(guān)系式②，聯(lián)立兩個關(guān)系式，即可得到關(guān)于（x2-x1）與S的關(guān)系式③，將S=36代入②③的關(guān)系式中，即可列方程組求得x1、x2的值，進而可求出A點的坐標．

（3）要解答此題，首先要弄清幾個關(guān)鍵點：

一、當PQ∥AB時，設(shè)直線AB與拋物線對稱軸的交點為E，可得△DPQ∽△DBE，可用t表示出DP、DQ的長，而E點坐標易求得，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可得到此時t的值即t=；

二、當P、Q都停止運動時，顯然BC＞DM，所以此時t=DM÷1=3；可分兩種情況討論：

①當0＜t＜時，設(shè)直線PQ與直線AB的交點為F，與x軸的交點為G；由題意知△FQE∽△FAG，得∠FGA=∠FEQ，由于BC∥x軸，則∠DPQ=∠FGA=∠FEQ，由此可證得△DPQ∽△DEB，DB、DE的長已求得，可用t表示出DP、DQ的長，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可求得此時t的值；

②當＜t＜3 時，方法同①；

在求得t的值后，還要根據(jù)各自的取值范圍將不合題意的解舍去．

試題解析：：（1）對稱軸：直線x=1，

解析式：y=x2-x，

頂點坐標：M（1，-）．

（2）由題意得y2-y1=3，y2-y1=x22-x2-x12+x1=3，

得：（x2-x1）[（x2+x1）-]=3①，

s==3（x1+x2）-6，

得：x1+x2=+2②，

把②代入①并整理得：x2-x1=（S＞0），

當s=36時，，

解得：，

把x1=6代入拋物線解析式得y1=3，

∴點A1（6，3）．

（3）存在

易知直線AB的解析式為y=x-，可得直線AB與對稱軸的交點E的坐標為（1，-），

∴BD=5，DE=，DP=5-t，DQ=t，

當PQ∥AB時，，即，

得t=，

下面分兩種情況討論：設(shè)直線PQ與直線AB、x軸的交點分別為點F、G；

當0＜t＜時，如圖1-1；

∵△FQE∽△FAG，∴∠FGA=∠FEQ，

∴∠DPQ=∠DEB；易得△DPQ∽△DEB，

∴，

∴，

得t=＞，

∴t=（舍去）；

當＜t＜3時，如圖1-2；

∵△FQE∽△FAG，

∴∠FAG=∠FQE，

∵∠DQP=∠FQE，∠FAG=∠EBD，

∴∠DQP=∠DBE，易得△DPQ∽△DEB，

∴

∴，

∴t=；

∴當t=秒時，使直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似．

考點：二次函數(shù)綜合題．