Question

12．如圖，已知過P點(diǎn)的兩條直線交⊙O于A，B，C，D四點(diǎn)，且OP平分∠APC．
（1）求證：PB=PD；
（2）若AB=6，PB=1，OP=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連結(jié)OA、OB，根據(jù)角平分線定理得到OE=OF，再證明Rt△AOE≌Rt△COF得到AE=CF，然后證明Rt△POE≌Rt△POF，得到PE=PF，由PE-AE=PF-CF，得到PA=PC．
（2）根據(jù)垂徑定理求得AE，得到PE，根據(jù)勾股定理得到OE，然后根據(jù)勾股定理求得OA．

解答 （1）證明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連結(jié)OB、OD，如圖，
∵PO平分∠APC，
∴OE=OF，
在Rt△BOE和Rt△DOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOE≌Rt△DOF，
∴BE=DF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴PE=PF，
∴PE-BE=PF-DF，
即PB=PD．
（2）解：∵AB=6，PB=1，OP=5，
∴AE=BE=3，
∴PE=4，
在Rt△POE中，OE=$\sqrt{O{P}^{2}-P{E}^{2}}$=3，
∴OA=$\sqrt{A{E}^{2}+O{E}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∴⊙O的半徑為3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了垂徑定理：垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了角平分線定理，直角三角形全等的判定方法以及勾股定理的應(yīng)用．