Question

16．如圖所示，AB是⊙O的直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點(diǎn)F，過(guò)圓心O作OG∥BD，交過(guò)點(diǎn)A所作⊙O的切線于點(diǎn)G，連結(jié)GD并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：GD是⊙O的切線；
（2）試判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）若OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，求AG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，如圖，由AG是過(guò)點(diǎn)A的切線，AB是⊙O的直徑，得到∠GAB=90°，由于OG∥BD，得到∠AOG=∠OBD，∠DOG=∠ODB．由等量代換得到∠AOG=∠DOG，證得△AOG≌△DOG，得到OD⊥DE即可證得GD是⊙O的切線；
（2）由（1）知，OD⊥DE，即∠ODC+∠EDF=90°，由OC=OD，得到∠C=∠ODC，∠EDF+∠C=90°，而OC⊥OB，證得∠EDF=∠DFE，即可得到結(jié)果
（3）在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，則EF=x，OE=1+x，由于OD²+DE²=OE²，得到∴DE=4，OE=5，根據(jù)AG為⊙O的切線，得到∠GAE=90°，而∠OED=∠GEA，推出Rt△EOD∽R(shí)t△EGA，得到比例式即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵AG是過(guò)點(diǎn)A的切線，AB是⊙O的直徑，
∴AG⊥AB，
∴∠GAB=90°，
∵OG∥BD，
∴∠AOG=∠OBD，∠DOG=∠ODB．
∵OC=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠AOG=∠DOG，
在△AOG和△DOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOG=∠DOG}\\{OG=OG}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△DOG，
∴∠ODG=∠GAB=90°，即OD⊥DE
∵OD是⊙O的半徑，
∴GD是⊙O的切線；                                 

（2）解：△DEF是等腰三角形．理由如下：
由（1）知，OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，即∠ODC+∠EDF=90°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∴∠EDF+∠C=90°，
而OC⊥OB，
∴∠C+∠OFC=90°，
∴∠OFC=∠EDF，
∵∠DFE=∠OFC，
∴∠EDF=∠DFE，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；

（3）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，
∴OF=1，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，則EF=x，OE=1+x，
∵OD²+DE²=OE²，
∴3²+x²=（x+1）²，
解得x=4，
∵DE=EF，
∴DE=4，OE=5，
∵AG為⊙O的切線，
∴AG⊥AE，
∴∠GAE=90°，
而∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽R(shí)t△EGA，
∴$\frac{OD}{AG}=\frac{DE}{AE}$，即$\frac{3}{AG}=\frac{4}{3+5}$，
∴AG=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．