Question

16．如圖，將△ABC第一次操作：分別延長(zhǎng)AB，BC，CA至點(diǎn)A₁，B₁，C₁，使A₁B=AB，B₁C=BC，C₁A=CA，順次連結(jié)A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，第二次操作：分別延長(zhǎng)A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁至點(diǎn)A₂、B₂、C₂，使A₂B₁=A₁B₁，B₂C₁=B₁C₁，C₂A₁=C₁A₁，順次連結(jié)A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂…按此規(guī)律，若△A₃B₃C₃的面積是686，則△ABC的面積為2．

Answer 1

分析 先根據(jù)已知條件求出△A₁B₁C₁及△A₂B₂C₂的面積，再根據(jù)兩三角形的倍數(shù)關(guān)系求解即可．

解答 解：△ABC與△A₁BB₁底相等（AB=A₁B），高為1：2（BB1=2BC），故面積比為1：2，
∵△ABC面積為1，
∴S_△A1B1B=2．
同理可得，S_△C1B1C=2，S_△AA1C=2，
∴S_△A1B1C1=S_△C1B1C+S_△AA1C+S_△A1B1B+S_△ABC=2+2+2+1=7；
同理可證S_△A2B2C2=7S_△A1B1C1=49，
第三次操作后的面積為7×49=343，
因?yàn)椤鰽₃B₃C₃的面積是686，
所以△ABC的面積為2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 考查了三角形的面積，此題屬規(guī)律性題目，解答此題的關(guān)鍵是找出相鄰兩次操作之間三角形面積的關(guān)系，再根據(jù)此規(guī)律求解即可．