Question

4．無錫某校準備組織學生及學生家長到上海進行社會實踐，為了便于管理，所有人員必須乘坐在同一列高鐵上；根據(jù)報名人數(shù)，若都買一等座單程火車票需6175元，若都買二等座單程火車票且花錢最少，則需3150元；已知學生家長與教師的人數(shù)之比為2：1，無錫到上海的火車票價格（高鐵學生票只有二等座可以打7.5折）如表所示：

運行區(qū)間		票價
上車站	下車站	一等座	二等座
無錫	上海	95（元）	60（元）

（1）參加社會實踐的老師、家長與學生各有多少人？
（2）由于各種原因，二等座火車票單程只能買x張（x小于參加社會實踐的人數(shù)），其余的須買一等座火車票，在保證每位參與人員都有座位坐的前提下，請你設(shè)計最經(jīng)濟的購票方案，并寫出購買火車票的總費用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）請你做一個預算，按第（2）小題中的購票方案，購買一個單程火車票至少要花多少錢？最多要花多少錢？

Answer 1

分析 （1）設(shè)參加社會實踐的老師有m人，學生有n人，則學生家長有2m人，若都買二等座單程火車票且花錢最少，則全體學生都需買二等座學生票，根據(jù)題意得到方程組，求出方程組的解即可；
（2）有兩種情況：①當50≤x＜65時，學生都買學生票共50張，（x-50）名成年人買二等座火車票，（65-x）名成年人買一等座火車票，得到解析式：y=60×0.75×50+60（x-50）+95（65-x）；②當0＜x＜50時，一部分學生買學生票共x張，其余的學生與家長老師一起購買一等座火車票共（65-x）張，得到解析式是y=-50x+6175；
（3）由（2）小題知，當50≤x＜65時，y=-35x+5420和當0＜x＜50時，y=-50x+6175，分別討論即可．

解答 解：（1）設(shè)參加社會實踐的老師有m人，學生有n人，則學生家長有2m人，若都買二等座單程火車票且花錢最少，則全體學生都需買二等座學生票，依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{95（3m+n）=6175}\\{60（m+2m）+60×0.75n=3150}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=50}\end{array}\right.$，
則2m=10．
答：參加社會實踐的老師、家長與學生各有5、10與50人．
（2）由（1）知所有參與人員總共有65人，其中學生有50人，
①當50≤x＜65時，最經(jīng)濟的購票方案為：
學生都買學生票共50張，（x-50）名成年人買二等座火車票，（65-x）名成年人買一等座火車票．
∴火車票的總費用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=60×0.75×50+60（x-50）+95（65-x），
即y=-35x+5420（50≤x＜65）；
②當0＜x＜50時，最經(jīng)濟的購票方案為：一部分學生買學生票共x張，其余的學生與家長老師一起購買一等座火車票共（65-x）張．
∴火車票的總費用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=60×0.75x+95（65-x），
即y=-50x+6175（0＜x＜50）
（3）由（2）小題知，
當50≤x＜65時，y=-35x+5420，由此可見，當x=64時，y的值最小，最小值為3180元，當x=50時，y的值最大，最大值為3670元．
當0≤x＜50時，y=-50x+6175，由此可見，當x=49時，y的值最小，最小值為3725元，當x=1時，y的值最大，最大值為6125元．
∴可以判斷按（2）小題中的購票方案，購買一個單程火車票至少要花3180元，最多要花6125元．

點評 本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，解決本題的關(guān)鍵是分段函數(shù)的運用，函數(shù)的最值．考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．