Question

12．如圖1，點C和動點E在射線AT上，以AC為邊作Rt△ABC，使∠BCA=90°，且BC=8，AB=10，邊BC上有一動點P，使BP=CE，邊AB上有一動點Q，使AQ=2CE，連結(jié)PQ，EQ，以PQ，EQ為鄰邊作?EQPF，設(shè)CE=m（m＜5），

（1）當E在線段AC上運動時，
①當m=2.5，求PQ的值；
②當FQ∥AC時，求m的值；
（2）在點E的整個運動過程中，當m為何值時2，?EQPF的面積恰好被線段BC或射線AT分成1：3的兩部分，求出所有符合條件的m是值；
（3）如圖2，以EQ為直徑作⊙O，⊙O與射線AT相交于點E，G，與直線BC相交于點M，N，若MN=EG，則m=$\frac{10}{3}$（直接寫出m的值）．

Answer 1

分析 （1）①如圖1中，作QH⊥BC于H，QG⊥AC于G．，則四邊形CGQH是矩形．在Rt△求出PH、QH即可解決問題．
②如圖2中，連接PE交FQ于N，F(xiàn)Q交PC于G，作QM⊥AC于M．由四邊形PQEF是平行四邊形，推出PN=NE，由FQ∥AC，推出PG=GC，易證四邊形CGQM是矩形，根據(jù)CG=QM，可得$\frac{1}{2}$（8-m）=$\frac{4}{5}$•2m，解方程即可．
（2）分兩種情形討論①如圖3中，連接PE，作FG⊥PC于G，QM⊥AC于M，PC交EF于H．②如圖4中，作QG⊥BC于G，F(xiàn)M⊥AC于M，連接FQ，PF交AC于H．分別構(gòu)建方程即可解決問題．
（3）如圖5中，作OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，F(xiàn)O的延長線交AB于T，CO的延長線交AB于K．由MN=EG，推出OF=OH，推出CK是∠ACB的平分線，易證：$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AK}{BK}$，可得AK=$\frac{3}{7}$×10=$\frac{30}{7}$，由OT∥AE，QO=OE，推出QT=TA=m，由OT∥AC，推出$\frac{OT}{AC}$=$\frac{KT}{KA}$，由此列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）①如圖1中，作QH⊥BC于H，QG⊥AC于G．，則四邊形CGQH是矩形．

在Rt△ABC，∵∠BCA=90°，BC=8，AB=10，
∴AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
由題意CE=BP=2.5，AQ=5，
∵QG∥BC，
∴$\frac{QG}{BC}$=$\frac{AG}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$，
∴QG=4，AG=3，
∴CG=HQ=3，CH=GQ=4，PH=1.5，
∴PQ=$\sqrt{P{H}^{2}+Q{H}^{2}}$=$\sqrt{1．{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$．

②如圖2中，連接PE交FQ于N，F(xiàn)Q交PC于G，作QM⊥AC于M．

∵四邊形PQEF是平行四邊形，
∴PN=NE，
∵FQ∥AC，
∴PG=GC，
易證四邊形CGQM是矩形，
CG=QM，
∴$\frac{1}{2}$（8-m）=$\frac{4}{5}$•2m，
∴m=$\frac{40}{21}$．

（2）①如圖3中，連接PE，作FG⊥PC于G，QM⊥AC于M，PC交EF于H．

當H是EF中點時，S_△PFH=$\frac{1}{2}$S_△PEF，
∵S_△PEF=S_△PEQ，
∴?EQPF的面積恰好被線段BC分成1：3的兩部分，
易證△FGH≌△ECH，△PFG≌△QEM，
∴FG=CE=EM，
∴m=6-m-$\frac{3}{5}$•2m，
∴m=$\frac{15}{8}$
②如圖4中，作QG⊥BC于G，F(xiàn)M⊥AC于M，連接FQ，PF交AC于H．

當PH=FH時，?EQPF的面積恰好被射線AT分成1：3的兩部分，
易證FM=PC=PG，
∴8-m=m-$\frac{4}{5}$（10-2m），
∴m=$\frac{40}{7}$．
綜上所述，當m=$\frac{15}{8}$或$\frac{40}{7}$時，?EQPF的面積恰好被線段BC或射線AT分成1：3的兩部分．

（3）如圖5中，作OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，F(xiàn)O的延長線交AB于T，CO的延長線交AB于K．

∵MN=EG，
∴OF=OH，
∴CK是∠ACB的平分線，
易證：$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AK}{BK}$，可得AK=$\frac{3}{7}$×10=$\frac{30}{7}$，
∵OT∥AE，QO=OE，
∴QT=TA=m，
∵OT∥AC，
∴$\frac{OT}{AC}$=$\frac{KT}{KA}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（6-m）}{6}$=$\frac{\frac{30}{7}-m}{\frac{30}{7}}$，
∴m=$\frac{10}{3}$，
∴m=$\frac{10}{3}$時，MN=EG．
故答案為$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查圓綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．