Question

20．設方程x²-4x-3=0的兩根為x₁、x₂．求下列各式的值．
（1）${x}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；
（3）${x}_{1}^{2}$x₂+${x}_{2}^{2}$x₁．

Answer 1

分析 由于方程x²-4x-3=0的兩個實數(shù)根為x₁，x₂，利用根與系數(shù)的關系即可得到兩根之和和兩根之積，然后利用完全平方公式就可以求出代數(shù)式的值．

解答 解：∵方程x²-4x-3=0的兩根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=-3，
（1）${x}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16+6=22；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{16+6}{-3}$=-$\frac{22}{3}$；
（3）${x}_{1}^{2}$x₂+${x}_{2}^{2}$x₁=x₁x₂（x₁+x₂）=-3×4=-12．

點評 此題主要考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．