Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC邊上不同于B、C的一動(dòng)點(diǎn)，過P作PQ⊥AB，垂足是Q，連接AP．
（1）試說明不論點(diǎn)P在BC邊上何處時(shí)，都有△PBQ與△ABC相似；
（2）若AC=3，BC=4，當(dāng)BP為何值時(shí)，△AQP面積最大，并求出最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）直接證明∠C=∠PQB=90°，而∠B=∠B，即可解決問題．
（2）設(shè)BP=λ，求出BQ、PQ、AQ的值（用λ表示），進(jìn)而表示出△APQ的面積，借助二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答：解：（1）∵PQ⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠PQB=90°，
而∠B=∠B，
∴△PBQ∽△ABC．
（2）設(shè)△AQP面積的面積為α．
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理得：AB²=AC²+BC²
=9+16=25，
∴AB=5；設(shè)BP=λ，
∵△PBQ∽△ABC，
∴

PB

AB

=

PQ

AC

=

BQ

BC

，即

λ

5

=

PQ

3

=

BQ

4

，
∴PQ=

3λ

5

，BQ=

4λ

5

，
∴AQ=5-

4λ

5

，
∴α=

1

2

AQ•PQ=

1

2

×

3λ

5

（5-

4λ

5

）
=-

6

25

λ2+

3λ

2

，
∴當(dāng)λ=-

3 2

2×(- 6 25 )

=

25

8

時(shí)，α取得最大值，
αmax=

-( 3 2 )2

4×(- 6 25 )

=

75

32

．
即當(dāng)BP=

25

8

時(shí)，△AQP面積最大，最大值=

75

32

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、解答．