Question

10．如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，CF交AE于點(diǎn)G，且∠CGE=45°，AE=$\sqrt{5}$，則CF的長為$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 連接AC，作FM⊥AC于M，首先證明△ADE∽△CMF得到CM=2FM，設(shè)AM=FM=a，列出方程求出a，即可解決問題．

解答 解：連接AC，作FM⊥AC于M．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠D=∠BAD=90°，∠DAC=45°，
∵∠AMF=90°，
∴∠MAF=∠MFA=45°，
∴AM=FM．設(shè)AM=FM=a，AD=2b．則DE=EC=b，
在RT△ADE中，∵AD²+DE²=AE²，
∴5=5b²，
∵b＞0，
∴b=1，AD=2，DE=1，
∵∠EGC=∠GAC+∠GCA=45°，∠GAC+∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FCM，
∵∠FMC=∠ADE=90°，
∴△ADE∽△CMF，
∴$\frac{AD}{CM}$=$\frac{DE}{FM}$，
∴$\frac{CM}{FM}$=$\frac{AD}{DE}$=2，
∴CM=2FM，
∴2$\sqrt{2}$-a=2a，
∴a=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$，
∴FM=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$，CM=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，
∴CF=$\sqrt{C{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}+（\frac{4\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$．
故答案為$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，屬于中考常考題型．