Question

已知關(guān)于x的方程x²+2（m+2）x+m²-5=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩根的積大16？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)判別式的意義得到△=4（m+2）²-4（m²-5）≥0，然后解不等式即可；
（2）設(shè)方程的兩根分別為a、b，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=-2（m+2），ab=m²-5，再由a²+b²=ab+16變形得到（a+b）²-3ab=16，所以4（m+2）²-3（m²-5）=16，解此方程得到m₁=-1，m₂=-15，然后根據(jù)（1）中m的范圍確定滿(mǎn)足條件的m的值．

解答：解：（1）根據(jù)題意得△=4（m+2）²-4（m²-5）≥0，
解得m≥-

9

4

；
（2）存在．
設(shè)方程的兩根分別為a、b，則a+b=-2（m+2），ab=m²-5，
∵a²+b²=ab+16，
∴（a+b）²-2ab=ab+16，即（a+b）²-3ab=16，
∴4（m+2）²-3（m²-5）=16，
整理得m²+16m+15=0，解得m₁=-1，m₂=-15，
∵m≥-

9

4

，
∴m=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判別式．