Question

（1）①如圖Ⅰ，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，連接EF，證明：EF=

1

2

（AD+BC）；
②如圖Ⅱ，在四邊形ABCD中，若AD與BC不平行，E，F(xiàn)分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接EF，判斷EF與

1

2

（AD+BC）的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．
③綜合①、②可得結(jié)論：在任意四邊形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是AB、CD的中點(diǎn)，則EF與

1

2

（AD+BC）的大小關(guān)系是

 

；
（2）從（1）的①到③，我們將“梯形ABCD”改為“四邊形ABCD”后進(jìn)行的探索，實(shí)際上就是一個(gè)“一般化”的過(guò)程---將梯形兩腰中點(diǎn)連線的性質(zhì)“一般化”成任意四邊形一組對(duì)比中點(diǎn)連線的性質(zhì)．請(qǐng)將命題“菱形的面積等于它的兩條對(duì)角線的積的一半”一般化后探索新的結(jié)論，并說(shuō)明理由（友情提醒：命題“菱形的面積等于它的兩條對(duì)角線的積的一半”不需證明）

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,梯形中位線定理

專題：綜合題

分析：（1）①證明：連接AC，取AC的中點(diǎn)G，如圖Ⅰ，先根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到EG∥BC，EG=

1

2

BC，GF∥AD，GF=

1

2

AD，由于AD∥BC，利用平行線的性質(zhì)得EG∥BC，GF∥BC，根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，得到點(diǎn)G在EF上，于是有EF=EG+GF=

1

2

（AD+BC）；
②如圖Ⅱ，連接AC，取AC的中點(diǎn)G，連接GE、GF，與①一樣得到EG∥BC，EG=

1

2

BC，GF∥AD，GF=

1

2

AD，由于AD與BC不平行，根據(jù)平行線的性質(zhì)得點(diǎn)G不在EF上，
則根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到EF＜GF+GE，則EF＜

1

2

（AD+BC）；
③利用①②得，在任意四邊形ABCD中，當(dāng)E，F(xiàn)分別是AB、CD的中點(diǎn)，EF≤

1

2

（AD+BC）．
（2）探索新的結(jié)論為：若四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半．利用三角形面積公式進(jìn)行證明．

解答：（1）①證明：連接AC，取AC的中點(diǎn)G，如圖Ⅰ，

∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，
∴EG為△ABC的中位線，GF為△CAD的中位線，
∴EG∥BC，EG=

1

2

BC，GF∥AD，GF=

1

2

AD，
∵AD∥BC，
∴EG∥BC，GF∥BC，
∴E、G、F三點(diǎn)共線，即點(diǎn)G在EF上，
∴EF=EG+GF=

1

2

BC+

1

2

AD=

1

2

（AD+BC）；
②EF＜

1

2

（AD+BC）．理由如下：
如圖Ⅱ，連接AC，取AC的中點(diǎn)G，連接GE、GF，

與①一樣可得EG∥BC，EG=

1

2

BC，GF∥AD，GF=

1

2

AD，
∵AD與BC不平行，
∴EG與GF不共線，即點(diǎn)G不在EF上，
∴EF＜GF+GE，
∴EF＜

1

2

AD+

1

2

BC，
即EF＜

1

2

（AD+BC）；
③由①②得，在任意四邊形ABCD中，當(dāng)E，F(xiàn)分別是AB、CD的中點(diǎn)，EF≤

1

2

（AD+BC）．
故答案為EF≤

1

2

（AD+BC）．
（2）若四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半．理由如下：
如圖3，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn)，且AC⊥BD，

則S四邊形ABCD=S_△ABD+S_△CBD
=

1

2

•OA•BD+

1

2

•OC•BD
=

1

2

•BD（OA+OC）
=

1

2

•BD•AC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握梯形的性質(zhì)、梯形的中位線性質(zhì)和三角形中位線性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用三角形三邊的關(guān)系判斷線段之間的大小關(guān)系；在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，勇于探索從特殊到一般的變化．