Question

12．如圖，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地道B地須經(jīng)C地沿折線A-C-B行駛，全長68km，現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知∠A=30°，∠B=45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1km）（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7）

Answer 1

分析 首先過點C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)CD=x，即可表示出AC，BC的長，進而求出x的值，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AD，BD的長，即可得出答案．

解答 解：如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)CD=x．
在Rt△ACD中，sin∠A=$\frac{CD}{AC}$，AC=$\frac{CD}{sin30°}$=2x，
在Rt△BCD中，sin∠B=$\frac{CD}{BC}$，BC=$\frac{CD}{sin45°}$=$\sqrt{2}$x，
∵AC+BC=2x+$\sqrt{2}$x=68
∴x=$\frac{68}{2+\sqrt{3}}$≈$\frac{68}{2+1.4}$=20． 
在Rt△ACD中，tan∠A=$\frac{CD}{AD}$，AD=$\frac{CD}{tan30°}$=20$\sqrt{3}$，
在Rt△BCD中，tan∠B=$\frac{CD}{BD}$，BD=$\frac{CD}{tan45°}$=20，
AB=20$\sqrt{3}$+20≈54，
AC+BC-AB=68-54=14.0（km）．
答：隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走14.0千米．

點評 此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，得出CD的長以及熟練選擇正確的三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．