Question

3．在求1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶+3⁷+3⁸的值時，李敏發(fā)現(xiàn)：從第二個加數(shù)起每一個加數(shù)都是前一個加數(shù)的3倍，于是她假設(shè)：S=1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶+3⁷+3⁸①，
然后在①式的兩邊都乘以3，得：3S=3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶+3⁷+3⁸+3⁹②，
②-①得，3S-S=3⁹-1，即2S=3⁹-1，所以S=$\frac{{3}^{9}-1}{2}$．
得出答案后，愛動腦筋的張紅想：如果把“3”換成字母a（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁷的值？如能求出，其正確答案是$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$（a≠0且a≠1）．

Answer 1

分析 仿照例子，將3換成a，設(shè)S=1+a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁶（a≠0且a≠1），則有aS=a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁷，二者做差后兩邊同時除以a-1，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)S=1+a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁶（a≠0且≠1）①，
將①×a得：aS=a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁷②，
由②-①得：aS-S=a²⁰¹⁷-1，即S=$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$，
∴1+m+m²+m³+m⁴+…+m²⁰¹⁶=$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$（a≠0且a≠1）．
故答案為：$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$（a≠0且a≠1）．

點評 本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是仿照例子計算1+a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁶．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，本題其實是等比數(shù)列的求和公式，但初中未接觸過該方面的知識，需要借助于錯位相減法來求出結(jié)論，此題中尤其要注意a的取值范圍．