Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，且其縱坐標(biāo)為8，點(diǎn)B為x軸正半軸上一點(diǎn)，且tan∠ABO=2，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交AB于點(diǎn)C，且AC=3BC．
（1）求k的值；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OD∥AB交雙曲線y=-$\frac{k}{x}$（x＜0）于點(diǎn)D，求△AOD的面積．

Answer 1

分析 （1）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BM=1，則CM=2，NM=3，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出答案；
（2）首先求出直線AB的解析式進(jìn)而得出DO的解析式，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)，再利用S_△AOD=S_梯形DENA-S_△DEO-S_△AON求出即可．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，
∵點(diǎn)A在第一象限，且其縱坐標(biāo)為8，
∴AN=8，
∵tan∠ABO=$\frac{AN}{BN}$=$\frac{CM}{BM}$=2，
∴BN=4，
∵AC=3BC，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BM}{BN}$=$\frac{MC}{AN}$=$\frac{1}{4}$，
∴BM=1，則CM=2，NM=3，
設(shè)A（x，8），則C（3+x，2），
故8x=2（x+3），
解得：x=1，
則A（1，8），
故k=1×8=8；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，
由（1）得A（1，8），C（4，2），設(shè)AC的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{k+b=8}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=10}\end{array}\right.$，
故AC的解析式為：y=-2x+10，
∵OD∥AB，
∴DO的解析式為：y=-2x，
∵過(guò)點(diǎn)O作OD∥AB交雙曲線y=-$\frac{k}{x}$（x＜0）于點(diǎn)D，
∴雙曲線y=-$\frac{k}{x}$=-$\frac{8}{x}$，
則-2x=-$\frac{8}{x}$，
解得：x₁=2（不合題意舍去），x₂=-2，
則x=-2時(shí)，y=4，即D點(diǎn)坐標(biāo)為：（-2，4），
則S_△AOD=S_梯形DENA-S_△DEO-S_△AON=$\frac{1}{2}$（DE+AN）×EN-4-4=$\frac{1}{2}$×（4+8）×3-8=10．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)以及梯形面積、三角形面積求法以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，正確利用已知得出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．