Question

18．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c中自變量x和函數(shù)值y的部分對應值如下表：

x	…	-1	0	1	2	3	…
y	…	10	5	2	1	2	…

（1）求該二次函數(shù)的函數(shù)關系式；
（2）在所給的直角坐標系中畫出此函數(shù)的圖象；
（3）寫出y≤5時自變量x的取值范圍（可以結合圖象說明）．

Answer 1

分析 （1）當x=1或3時，y均等于2，那么此二次函數(shù)的對稱軸是2，則頂點坐標為（2，1），設出頂點式，把表格中除頂點外的一點的坐標代入可得a的值，也就求得了二次函數(shù)的值；
（2）根據(jù)圖表中的對應點，畫出函數(shù)的圖象即可；
（3）由表格中的值可以判斷函數(shù)值等于5的自變量的值，再利用二次函數(shù)增減性求出即可

解答 解：（1）由圖表可知拋物線y=ax²+bx+c過點（1，2），（3，2），求出對稱軸為x=2；
∴頂點坐標為：（2，1），
∴設y=a（x-2）²+1，
將（1，2）代入可得：a+1=2，
解得：a=1，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=（x-2）²+1=x²-4x+5．

（2）由表格中的值可以判斷：
圖象的對稱點為：（1，2），（3，2），頂點坐標為：（2，1），
畫出函數(shù)的圖象如圖：


（3）由圖表可知拋物線y=ax²+bx+c過點（0，5），求出對稱軸：x=2；
∴拋物線y=ax²+bx+c過點（4，5），
∴y≤5時自變量x的取值范圍：0≤x≤4．

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數(shù)圖象．