Question

19．（一）觀察如圖，回答下列問題：

（1）圖（2）中共有3條線段；
（2）圖（4）中共有10條線段；所有線段長(zhǎng)度的和是20；
（3）按這樣的規(guī)律畫下去，到圖（7）時(shí)，所有線段長(zhǎng)度的和是84；
（二）觀察下列等式：
1×1=$\frac{1×2×3}{6}$；
1×2+2×1=$\frac{2×3×4}{6}$；
1×3+2×2+3×1=$\frac{3×4×5}{6}$；
1×4+2×3+3×2+4×1=$\frac{4×5×6}{6}$；
…
請(qǐng)你將想到的規(guī)律用含有 n（n是正整數(shù)）的等式來表示就是：1×n+2×（n-1）+…+（n-1）×2+n×1=$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$．
猜想：在問題（一）中，按規(guī)律畫下去，到圖（100）時(shí)，所有線段長(zhǎng)度的和是171700．

Answer 1

分析 一、（1）根據(jù)線段有兩個(gè)端點(diǎn)，寫出所有線段后計(jì)算個(gè)數(shù)．
（2）根據(jù)線段有兩個(gè)端點(diǎn)，寫出所有線段后計(jì)算個(gè)數(shù)，然后根據(jù)各線段的長(zhǎng)度計(jì)算它們的和即可．
（3）根據(jù)線段有兩個(gè)端點(diǎn)，寫出所有線段后計(jì)算個(gè)數(shù)，然后根據(jù)各線段的長(zhǎng)度計(jì)算它們的和即可．
二、根據(jù)上面的等式得出規(guī)律即可；然后結(jié)合問題（一）（二）中的規(guī)律即可求得．

解答 解：一、（1）圖中線段有：線段AB、線段AC、線段BC，共有3條線段．
故答案為3．
（2）圖中線段有：線段AB、線段AC、線段AD、線段AE、線段BC、線段BD、線段BE、線段CD、線段CE、線段DE、共有10條線段．
所有線段長(zhǎng)度的和=1+2+3+4+1+2+3+1+2+1=20；
故答案為10，20；
（3）按這樣的規(guī)律畫下去，到圖（7）時(shí)，所有線段長(zhǎng)度的和是1+2+3+4+5+6+7+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+1+2+3+4+1+2+3+1+2+1=84；
故答案為84；
二、將想到的規(guī)律用含有 n（n 是正整數(shù)）的等式來表示就是：1×n+2×（n-12+n×1=$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$；
故答案為1×n+2×（n-1）+…+（n-1）×2+n×1=$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$；
猜想：在問題（一）中，按規(guī)律畫下去，到圖（100）時(shí)，
所有線段長(zhǎng)度的和是$\frac{100×1001×1002}{6}$=171700；
故答案為171700；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形的變化規(guī)律，數(shù)線段的方法：有n個(gè)點(diǎn)，就有1+2+3+4+…+（n-1）條線段．