Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c過點B（8，6），與X輸交于點A（2，0）、點D，對稱軸與x軸交于點C．線段BC的延長線與拋物線交于點E，連結(jié)BD、DE．
（1）求b、c的值．
（2）求拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的頂點坐標(biāo)及點D的坐標(biāo)．
（3）求△BDE的面積．
（4）點P是拋物線上一點，若△ADP的面積與△BCD的面積之比為1：4，求點p的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把B（8，6），A（2，0）代入拋物線解析式即可解決問題．
（2）令y=0，解方程即可得到點D坐標(biāo)，利用配方法求出頂點坐標(biāo)即可．
（3）求出直線BC解析式，利用方程組求出點E坐標(biāo)，由S_△BDE=S_△CDE+S_△CDB即可解決問題．
（4）設(shè)點P坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$m²-4m+6），列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{32+8b+c=6}\\{2+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$．

（2）∵y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6=$\frac{1}{2}$（x-4）²-2，
∴拋物線頂點坐標(biāo)為（4，-2），
令y=0，則$\frac{1}{2}$x²-4x+6=0，解得x=2或6，
∴點D坐標(biāo)為（6，0）．

（3）設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{8k+b=6}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=$\frac{3}{2}$x-6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x-6}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴點E坐標(biāo)為（3，-$\frac{3}{2}$），
∴S_△BDE=S_△CDE+S_△CDB=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$×2×6=$\frac{15}{2}$，

（4）設(shè)點P坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$m²-4m+6），
由題意$\frac{1}{2}$×4×|$\frac{1}{2}$m²-4m+6|=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×2×6，
∴$\frac{1}{2}$m²-4m+6=$±\frac{3}{4}$，
解得m=$\frac{8±\sqrt{22}}{2}$或m=$\frac{8±\sqrt{10}}{2}$，
∴點P坐標(biāo)為（$\frac{8+\sqrt{22}}{2}$，$\frac{3}{4}$）或（$\frac{8-\sqrt{22}}{2}$，$\frac{3}{4}$）或（$\frac{8+\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{4}$）或（$\frac{8-\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{4}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活掌握待定系數(shù)法，學(xué)會利用方程組求兩個函數(shù)交點坐標(biāo)，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考�？碱}型．