Question

18．如圖，我們把依次連接任意四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得四邊形EFGH叫中點(diǎn)四邊形．
（1）若四邊形ABCD是菱形，則它的中點(diǎn)四邊形EFGH一定是矩形；
（2）若四邊形ABCD的面積為S₁，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S₂，則S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系是S₁=2S₂；
（3）在四邊形ABCD中，沿中點(diǎn)四邊形EFGH的其中三邊剪開(kāi)，可得三個(gè)小三角形，將這三個(gè)小三角形與原圖中未剪開(kāi)的小三角形拼接成一個(gè)平行四邊形，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡的圖形上畫出一種拼接示意圖，并寫出對(duì)應(yīng)全等的三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)、矩形的判定定理可以證得四邊形EFGH是矩形．
（2）由E為AB中點(diǎn)，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到△BEK與△ABM相似，△AEN與△ABM相似，利用面積之比等于相似比的平方，得到△EBK面積與△ABM面積之比為1：4，且△AEN與△EBK面積相等，進(jìn)而確定出四邊形EKMN面積為△ABM的一半，同理得到四邊形MKFP面積為△MBC面積的一半，四邊形QMPG面積為△DMC面積的一半，四邊形MNHQ面積為△ADM面積的一半，四個(gè)四邊形面積之和即為四個(gè)三角形面積之和的一半，即為四邊形ABCD面積的一半；
（3）利用中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)得出拼接方法，進(jìn)而得出全等三角形．

解答 （1）解：矩形．理由如下：
如圖，連接AC、BD．
∵點(diǎn)E、F分別是菱形AB、BC邊上的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC，且EF∥AC．
同理，HG=$\frac{1}{2}$AC，且HG∥AC，
∴EF=HG，且EF∥HG．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴四邊形EFGH是 矩形．
故答案是：矩形；

（2）如圖2，設(shè)AC與EH、FG分別交于點(diǎn)N、P，BD與EF、HG分別交于點(diǎn)K、Q，
∵E是AB的中點(diǎn)，EF∥AC，EH∥BD，
∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，
∴$\frac{{S}_{△EBK}}{{S}_{△ABM}}$=$\frac{1}{2}$，S_△AEN=S_△EBK，
∴$\frac{{S}_{四邊形EKMN}}{{S}_{△ABM}}$=$\frac{1}{2}$，同理可得$\frac{{S}_{四邊形KFPM}}{{S}_{△BCM}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{S}_{四邊形QGPM}}{{S}_{△DCM}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{S}_{四邊形HQMN}}{{S}_{△DAM}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{四邊形EFGH}}{{S}_{四邊形ABCD}}$=$\frac{1}{2}$，
∴四邊形ABCD的面積為S₁，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S₂，則S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系是S₁=2S₂；
故答案是：2；

（3）如圖3，四邊形NEHM是平行四邊形；
△MAH≌△GDH，△NAE≌△FBE，△CFG≌△ANM．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了中點(diǎn)四邊形以及相似三角形的判定與性質(zhì)和矩形的判定以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)，利用三角形中位線的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．