Question

13．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，現(xiàn)將一塊邊長足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)置于AB的中點(diǎn)O，兩直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)B、C，然后將三角板繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度α（0°＜α＜90°），旋轉(zhuǎn)后，直角三角板的直角邊分別與AC、BC相交于點(diǎn)K、H，四邊形CHOK是旋轉(zhuǎn)過程中三角板與△ABC的重疊部分（如圖所示），那么，在上述旋轉(zhuǎn)過程中：
（1）線段BH與CK具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHOK的面積是否發(fā)生變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
（2）連接HK，設(shè)BH=x．
①當(dāng)△CKH的面積為$\frac{5}{2}$時，求出x的值．
②試問△OHK的面積是否存在最小值，若存在，求出此時x的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OC，利用ASA即可證明△COK≌△BOH，則BH=CK，S_{四邊形CHOK}=S_△COK+S_△COH=S_△BOH+S_△COH=S_△COB，據(jù)此即可求解；
（2）①由（1）知CK=BH=x，CH=6-x，根據(jù)三角形的面積公式即可列方程求解；
②設(shè)△OKH的面積為S，由（1）知四邊形CHOK的面積為9，根據(jù)S_△OKH=S_{四邊形CHOK}-S_△CKH，把△OKH的面積表示成x的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，BH=CK，四邊形CHOK的面積始終保持不變，其值為△ABC面積的一半．
理由如下：連接OC．
∵△ABC為等腰直角三角形，O為斜邊AB的中點(diǎn)，CO⊥AB，
∴∠OCK=∠B=45°，CO=OB．
又∵∠COK與∠BOH均為旋轉(zhuǎn)角，
∴∠COK=∠BOH=α，
在△COK和△BOH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠B}\\{OC=OB}\\{∠COK=∠BOH}\end{array}\right.$，
∴△COK≌△BOH，
∴BH=CK，S_{四邊形CHOK}=S_△COK+S_△COH=S_△BOH+S_△COH=S_△COB=$\frac{1}{2}$S_△ABC=9．
（2）①由（1）知CK=BH=x，
∵BC=6，
∴CH=6-x，根據(jù)題意，得$\frac{1}{2}$CH•CK=$\frac{5}{2}$，
即（6-x）x=5，解這個方程得x₁=1，x₂=5，
此兩根滿足條件：0＜x＜6，
所以當(dāng)△CKH的面積為$\frac{5}{2}$時，x的取值是1或5；
②設(shè)△OKH的面積為S，由（1）知四邊形CHOK的面積為9，
∴S_△OKH=S_{四邊形CHOK}-S_△CKH=9-$\frac{1}{2}$x（6-x）=$\frac{1}{2}$（x²-6x）+9=$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{9}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$＞0，
∴當(dāng)x=3時，函數(shù)S_△OKH有最小值$\frac{9}{2}$，
∵x=3滿足條件0＜x＜6，
∴△OKH的面積存在最小值，此時x的值是3．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，正確利用x表示出△OKH的面積是關(guān)鍵．