Question

已知矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)度是關(guān)于x的方程x²-px+p+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則此矩形面積的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),根的判別式

專題：

分析：根據(jù)矩形性質(zhì)求出AC=BD，根據(jù)根的判別式求出P，求出AC、BD的值，根據(jù)完全平方公式得出S≤

1

2

AC×BD，代入求出即可．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)度是關(guān)于x的方程x²-px+p+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△=p²-4×1×（p+3）=0，
解得：p₁=6，p₂=-2（不符合題意，舍去），
則方程為x²-6x+9=0，
即AC=BD=3，
由勾股定理得：AB²+BC²=AC²=9，
∵S=

1

2

AC×BD，
∴S≤

1

2

AC×BD=

9

2

，
故答案為：

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是得出S≤

1

2

AC×BD．