Question

18．我們新定義一種三角形：兩邊平方和等于第三邊平方的4倍的三角形叫做常態(tài)三角形．例如：某三角形三邊長分別是5，6和8，因為6²+8²=4×5²=100，所以這個三角形是常態(tài)三角形．
（1）若△ABC三邊長分別是2，$\sqrt{5}$和4，則此三角形是常態(tài)三角形（填“是”或“不是”）；
（2）若Rt△ABC是常態(tài)三角形，則此三角形的三邊長之比為$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$：$\sqrt{5}$（請按從小到大排列）；
（3）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，點D為AB的中點，連接CD，若△BCD是常態(tài)三角形，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）直接利用常態(tài)三角形的定義判斷即可；
（2）利用勾股定理以及結(jié)合常態(tài)三角形的定義得出兩直角邊的關(guān)系，進而得出答案；
（3）直接利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合常態(tài)三角形的定義得出BD的長，進而求出答案．

解答 解：（1）∵2²+4²=4×（$\sqrt{5}$）²=20，
∴△ABC三邊長分別是2，$\sqrt{5}$和4，則此三角形是常態(tài)三角形．
故答案為：是；

（2）∵Rt△ABC是常態(tài)三角形，
∴設(shè)兩直角邊長為：a，b，斜邊長為：c，
則a²+b²=c²，a²+c²=4b²，
則2a²=3b²，
故a：b=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$，
∴設(shè)a=$\sqrt{3}$x，b=$\sqrt{2}$x，
則c=$\sqrt{5}$x，
∴此三角形的三邊長之比為：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$：$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$：$\sqrt{5}$；

（3）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，點D為AB的中點，△BCD是常態(tài)三角形，
∴AD=BD=DC，CD²+BD²=4×6²，
解得：BD=DC=6$\sqrt{2}$，
則AB=12$\sqrt{2}$，
故AC=$\sqrt{（12\sqrt{2}）^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{7}$，
則△ABC的面積為：$\frac{1}{2}$×6×6$\sqrt{7}$=$18\sqrt{7}$．
當AD=BD=DC，CD²+BC²=4×BD²，
解得：BD=DC=2$\sqrt{3}$，
則AB=4$\sqrt{3}$，
故AC=2$\sqrt{3}$，
則△ABC的面積為：$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$．
故△ABC的面積為$18\sqrt{7}$或6$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了勾股定理以及新定義，正確應(yīng)用勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．