Question

已知直線OA：y₁=k₁x與雙曲線y₂=

k2

x

交于第一象限于點(diǎn)A（2，2）
（1）求直線和雙曲線的解析式；
（2）將直線OA沿y軸向下平移，交y軸于點(diǎn)C，交雙曲線于點(diǎn)B，直線BA交y軸于點(diǎn)D，若O恰好是CD的中點(diǎn)，求平移后直線BC的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

專題：

分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求直線解析式解答；
（2）根據(jù)平移的特點(diǎn)，設(shè)出平移后相對(duì)應(yīng)的解析式，然后求得此解析式與直線BC的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的解析式，即可求得位置系數(shù)，從而求解．

解答：解：（1）將A（2，2）分別代入y₁=k₁x與雙曲線y₂=

k2

x

得：2=2k₁，所以k₁=1，所以y₁=x；
2=

k2

2

，
∴k₂=4，
則解析式分別為：y₁=x，y₂=

4

x

．

（2）∵y₁=x，
∴∠DOA=45°，
∵OA∥BC，
∴∠DOA=∠OCE=45°，
∴△OCE是等腰直角三角形，
設(shè)向下平移m個(gè)單位，則直線BC的解析式為y=x-m，
且OC=OD=OE=m，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)是（m，0），D的坐標(biāo)是（0，m），
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
則

2k+b=2 b=m

，
解得：

k=1- m 2 b=m

，
則直線AB的解析式是：y=（1-

m

2

）x+m，
解方程組

y=(1- m 2 )x+m y=x-m

，
解得：

x=4 y=4-m

，
即B的坐標(biāo)是（4，4-m），代入y=

4

x

得：4（4-m）=4，
解得：m=3，
則直線BC的解析式是：y=x-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)已知條件先判斷出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．