Question

如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（3，3）、B（1，2），△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A₁OB₁．
（1）畫(huà)出△A₁OB₁，直接寫(xiě)出點(diǎn)A₁，B₁的坐標(biāo)；
（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)；
（3）求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段AB所掃過(guò)的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換,弧長(zhǎng)的計(jì)算,扇形面積的計(jì)算

專(zhuān)題：作圖題

分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A₁、B₁的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用勾股定理列式求出OB的長(zhǎng)，再利用弧長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)AB掃過(guò)的面積等于以O(shè)A、OB為半徑的兩個(gè)扇形的面積的差列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）△A₁OB₁如圖所示，
A₁（-3，3），B₁（-2，1）；

（2）由勾股定理得，OB=

12+22

=

5

，
所以，弧BB₁=

90•π• 5

180

=

5

2

π；

（3）由勾股定理得，OA=

32+32

=3

2

，
S_扇形OAA1=

90•π•(3 2 )2

360

=

9

2

π，
S_扇形OBB1=

90•π• 5 2

360

=

5

4

π，
則線(xiàn)段AB所掃過(guò)的面積為：

9

2

π-

5

4

π=

13

4

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，弧長(zhǎng)計(jì)算，扇形的面積，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，（3）判斷出AB掃過(guò)的面積等于兩個(gè)扇形的面積的差是解題的關(guān)鍵．