Question

5．問題情景：
如圖，在直角坐標系xOy中，點A、B為二次函數(shù)y=ax²（a＞0）圖象上的兩點，且點A、B的橫坐標分別為m、n（m＞n＞0），連接OA、AB、OB．設(shè)△AOB的面積為S時，解答下列問題：
探究：
當a=1時，

	mn	m-n	S
m=3，n=1	3	2	3
m=5，n=2	10	3	15

當a=2時，

	2mn	m-n	S
m=3，n=1	6	2	6
m=5，n=2	20	3	15

歸納證明：
對任意m、n（m＞n＞0），猜想S=$\frac{1}{2}$amn（m-n）（用a，m，n表示），并證明你的猜想．
拓展應用：
若點A、B的橫坐標分別為m、n（m＞0＞n），其它條件不變時，△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$amn（m-n）（用a，m，n表示）．

Answer 1

分析 （1）探究：由拋物線解析式可求得A、B的坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式，設(shè)直線AB交y軸于點C，則可求得OC的長，由S_△AOB=S_△OCA-S_△OCB可求得答案；
（2）歸納證明：由（1）的過程可得出結(jié)論，進行證明即可；
（3）拓展應用：同（1）的方法，可利用S_△AOB=S_△OCA+S_△OCB求得答案．

解答 解：
（1）探究：
如圖1，設(shè)直線AB交y軸于點C，過點A作AD⊥y軸于點D，過B作BE⊥y軸于點E，

當a=1時，
∵A、B在拋物線上，
∴A（m，m²），B（n，n²），
∴AD=m，BE=n，
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mk+b={m}^{2}}\\{nk+b={n}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=m+n}\\{b=-mn}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=（m+n）x-mn，
令x=0可得y=-mn，
∴OC=mn，
∴S_△AOB=S_△OCA-S_△OCB=$\frac{1}{2}$OC•AD-$\frac{1}{2}$OC•BE=$\frac{1}{2}$OC（AD-BE）=$\frac{1}{2}$mn（m-n），
當m=3，n=1時，可得S=$\frac{1}{2}$×3×2=3，
當m=5，n=2時，可得S=$\frac{1}{2}$×10×3=15；
同理可得當a=2時，S=$\frac{1}{2}$×2mn（m-n）=mn（m-n），
當m=3，n=1時，S=$\frac{1}{2}$×6×2=6，
當m=5，n=2時，S=$\frac{1}{2}$×20×3=30；
故答案為：3；15；6；30；

（2）歸納證明：可猜想S=$\frac{1}{2}$amn（m-n）．
證明如下：同圖1，
∵A、B在拋物線上，
∴A（m，am²），B（n，an²），
∴AD=m，BE=n，
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=a{m}^{2}}\\{nk+b=a{n}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=a（m+n）}\\{b=-amn}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=a（m+n）x-amn，
令x=0可得y=-amn，
∴OC=amn，
∴S_△AOB=S_△OCA-S_△OCB=$\frac{1}{2}$OC•AD-$\frac{1}{2}$OC•BE=$\frac{1}{2}$OC（AD-BE）=$\frac{1}{2}$amn（m-n）；
故答案為：$\frac{1}{2}$amn（m-n）；

（3）拓展應用：
如圖2，

同（2）可得S=S_△AOB=S_△OCA+S_△OCB=$\frac{1}{2}$amn[m+（-n）]=$\frac{1}{2}$amn（m-n），
故答案為：$\frac{1}{2}$amn（m-n）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、三角形的面積、轉(zhuǎn)化思想及方程思想等知識．利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，求得OC的長，是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點不多，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想的應用．