Question

11．△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點D是底邊上一動點，連接AD，以線段AD為邊向線段AD的右側作等邊△ADE，連接BE，點F是線段BE中點，連接AF．
（1）如圖1，當點E恰好落在邊AC上時，若BC=8，求線段BE的長；
（2）如圖2，求證：CD=2AF；
（3）如圖3，連接DF，請?zhí)骄烤�段AF，DF及BC應滿足的數(shù)量關系．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作EM⊥BC于M．證明EM是△ADC的中位線，求出EM、BM利用勾股定理即可解決．
（2）如圖2中，延長AF到M，使得FM=AF，連接BM．先證明△AFE≌△MFB，再證明△ABM≌△CAD即可解決問題．
（3）結論：BC=$\sqrt{3}$DF+3AF．如圖3中，作AN⊥BC于N，DH⊥AC于H．首先證明四邊形AFDH是矩形，再證明AC=DF+$\sqrt{3}$DH=DF+$\sqrt{3}$AF，根據(jù)BC=2CN=2•AC•cos30°即可解決問題．

解答 （1）解：如圖1中，作EM⊥BC于M．

當點E在AC上時，∠DAB=∠DAC=60°，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，BD=DC=4，
∵∠C=30°，
∴AC=2AD，AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵AD=AE=DE，
∴AE=EC，
∵AD∥EM，
∴DM=CM=2，
∴EM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△BEM中，BE=$\sqrt{B{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{3}$．

（2）證明：如圖2中，延長AF到M，使得FM=AF，連接BM．

∵△ADE是等邊三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
在△AFE和△MFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=FM}\\{∠AFE=∠MFB}\\{FE=FB}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△MFB，
∴BM=AE=AD，∠MBF=∠AEF，
∴BM∥AE，
∴∠MBA+∠BAE=180°，
∵∠DAC+∠BAE=（∠DAC+∠EAC）+∠BAC=60°+120°=180°，
∴∠ABM=∠DAC，
在△ABM和∠CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABM=∠DAC}\\{BM=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CAD，
∴AM=CD，
∴CD=2AF．

（3）解：結論：BC=$\sqrt{3}$DF+3AF．
理由：如圖3中，作AN⊥BC于N，DH⊥AC于H．

由（2）可知，△ABM≌△CAD，
∴∠BAM=∠C=30°，
∴∠CAF=∠BAC-∠BAM=120°-30°=90°，
∵CD=2DH，CD=2AF，
∴FA=DH，∵FA∥DH，
∴四邊形AFDH是平行四邊形，∵∠FAH=90°，
∴四邊形AFDH是矩形，
∴DF=AH，
∵CH=$\sqrt{3}$DH，
∴AC=DF+$\sqrt{3}$DH=DF+$\sqrt{3}$AF，
在Rt△ACN中，∵∠ANC=90°，∠C=30°，
∴BC=2CN=2•AC•cos30°=2•（DF+$\sqrt{3}$AF）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=$\sqrt{3}$DF+3AF．

點評 本題考查三角形綜合題．全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定，矩形的判定和性質、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造全等三角形，屬于中考壓軸題．