Question

數學思考：
（1）如圖1，已知AB∥CD，探究下面圖形中∠APC和∠PAB、∠PCD的關系，并說明你探究的結論的正確性．
推廣延伸：
（2）①如圖2，已知AA₁∥BA₂，請你猜想∠A₁、∠B₁、∠B₂、∠A₂、∠A₃的關系，并證明你的猜想；
②如圖3，已知AA₁∥BA₂，直接寫出∠A₁、∠B₁、∠B₂、∠A₂、…∠B_n-1、∠A_n的關系．
拓展應用：
（3）①如圖4，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，應為

 

A．α+β+γ    B．β+γ-α    C.180°-α-γ+β    D.180°+α+β-γ
②如圖5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，則∠GHM的大小是

 

．

Answer 1

考點：平行線的性質

專題：

分析：（1）過點P作OP∥AB，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，再根據∠APC=∠1+∠2整理即可得證；
（2）①過點A₂作A₂O∥AA₁，根據（1）可得∠B₁=∠A₁+∠1，∠B₂=∠2+∠A₃，然后相加整理即可得解；
②根據規(guī)律，A系列的角的和等于B系列的角的和列式即可；
（3）①過∠x的頂點作CD∥AB，然后根據平行線的性質和（1）的結論表示出x即可；
②根據（2）的結論列式計算即可得解．

解答：（1）證明：如圖1，過點P作OP∥AB，
∵AB∥CD，
∴OP∥AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，
∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，
即∠APC=∠PAB+∠PCD；

（2）解：①如圖2，過點A₂作A₂O∥AA₁，
由（1）可知∠B₁=∠A₁+∠1，∠B₂=∠2+∠A₃，
所以，∠B₁+∠B₂=∠A₁+∠A₂+∠A₃；
②∠A₁+∠A₂+…+∠A_n=∠B₁+∠B₂+…+∠B_n-1；

（3）解：①如圖4，過∠x的頂點作CD∥AB，
則∠x=（180°-α）+（β-γ）=180°-α-γ+β，
②由（1）可知，30°+∠GHM+50°=∠G+∠M，
∵∠G=90°，∠M=30°，
∴∠GHM=90°+30°-30°-50°=40°．
故答案為：C；40°．

點評：本題考查了平行線的性質，熟練掌握性質并作出輔助線是解題的關鍵，難點在于總結出A系列的角的和等于B系列的角的和．