Question

15．如圖，等邊△ABC的邊長為4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB-BC的方向向點(diǎn)C移動(dòng)，若△APQ的面積為S（cm²），則下列最能反映S（cm²）與移動(dòng)時(shí)間t（s）之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，根據(jù)題意可知△APQ為直角三角形，然后根據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，△QAP為直角三角形，然后根據(jù)三角形的面積公式可求得S與t的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，如圖1所示：

∵QA=2t，PA=t，
∴$\frac{AP}{QA}$=$\frac{1}{2}$．
∵∠A=60°，
∴cos∠A=$\frac{1}{2}$．
∴cos∠A=$\frac{AP}{AQ}$．
∴QP⊥AP．
∴△APQ為直角三角形．
∵AP=t，∠A=60°，
∴QP=$\sqrt{3}t$．
∴${S}_{△APQ}=\frac{1}{2}AP•QP$=$\frac{1}{2}×t×\sqrt{3}t$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}$（0＜t≤2）．
當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，如圖2所示：

由題意可知：AP=t，PC=（4-t），
∵QC=8-2t，PC=4-t，
∴$\frac{PC}{QC}=\frac{1}{2}$．
∵∠C=60°，
∴cos∠C=$\frac{1}{2}$．
∴cos∠C=$\frac{QC}{PC}$．
∴QP⊥PC．
∴PQ=tan∠C•PC=$\sqrt{3}$（4-t）．
∴${S}_{△AQP}=\frac{1}{2}AP•QP$=$\frac{1}{2}×t×\sqrt{3}（4-t）$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+2\sqrt{3}t$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查的是動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)題意求得△APQ的面積與t的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．