Question

6．已知點(diǎn)P是等邊△ABC外接圓上的點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），連接PA，PB，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BP，交直線PA于點(diǎn)E．若PA=1，PB=2，則四邊形PBCE的面積為$\frac{15}{4}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)圓周角定理、平行線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明△ACE≌△BCP，得到CE=CP，AE=BP，根據(jù)等邊三角形的判定得到△PCE為等邊三角形，求出CE的長(zhǎng)，根據(jù)四邊形的面積公式計(jì)算即可．

解答 解：∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°，
∵CE∥BP，
∴∠BPE+∠E=180°，∠PCE=∠BPC=60°，
∴∠E=180°-∠BPE=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，
∴∠E=∠BPC=60°，
∵∠PCE-∠ACP=∠BCA-∠ACP，
∴∠ACE=∠BCP，
在△ACE和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠BPC}&{\;}\\{∠ACE=∠BCP}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCP（AAS），
∴CE=CP，AE=BP，
又∵∠E=60°，
∴△PCE為等邊三角形，
∴CE=CP=PE=1+2=3，
作PH⊥CM于H，如圖所示：
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∴四邊形PBCE的面積為=$\frac{1}{2}$（PB+CE）×PH=$\frac{1}{2}$（2+3）×$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$=$\frac{15}{4}$$\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{15}{4}$$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的外接圓和外心的概念以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等、等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°．