Question

14．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，四邊形OABC是平行四邊形，且∠AOC=45°，設(shè)OA=$\sqrt{2}a$，反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，交BC于點(diǎn)D，D是BC邊的中點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)a=4時，求k的值及邊OC的長；
（2）如圖2，連結(jié)AD、OD，若△OAD的面積是27，求a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)a=4，OA=$4\sqrt{2}$，∠AOC=45°得出A點(diǎn)坐標(biāo)，故可得出k的值，DP⊥x軸于點(diǎn)P，由D是中點(diǎn)得出AD的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PC的長，設(shè)OC=x可得出D點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的解析式即可得出OC的長；
（2）根據(jù)△OAD的面積是27，點(diǎn)D是中點(diǎn)可得出平行四邊形OABC面積是54，故可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，由A點(diǎn)坐標(biāo)可知反比例函數(shù)是y=$\frac{{a}^{2}}{x}$，作DP⊥x軸于點(diǎn)P，可用a表示出D點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)求出a的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵a=4，OA=$4\sqrt{2}$，∠AOC=45°
∴A（4，4），
∴k=16．
如圖1，作DP⊥x軸于點(diǎn)P，
∵D是中點(diǎn)，
∴CD=$2\sqrt{2}$，CP=DP=2
設(shè)OC=x，則點(diǎn)D（x+2，2），
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=$\frac{16}{x}$的圖象上，
∴2（x+2）=16，解得x=6，即OC=6；

（2）∵△OAD的面積是27，點(diǎn)D是中點(diǎn)，
∴平行四邊形OABC面積是54．
∵∠AOC=45°，OA=$\sqrt{2}$a，
∴A（a，a），
∴反比例函數(shù)是y=$\frac{{a}^{2}}{x}$，
∴54=OC×a，OC=$\frac{54}{a}$．
如圖2，作DP⊥x軸于點(diǎn)P，
∵D是中點(diǎn)，PC=PD=$\frac{a}{2}$，
∴D（$\frac{54}{a}$+$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$）                             
∵點(diǎn)D在圖象上，
∴（$\frac{54}{a}$+$\frac{a}{2}$）•$\frac{a}{2}$=a²，解得a=±6，
∴點(diǎn)B（15，6）．

點(diǎn)評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形，利用勾股定理求出D點(diǎn)坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．