Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax²-2ax-3a與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，BO=CO．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是第一象限拋物線上的一動點，連接AP，交y軸于點D，連接CP，設P點橫坐標為t，△CDP的面積為S，求S與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，過點P作PE⊥x軸于點E，連接PB，過點A作AF⊥PB于點F，交線段PE于點G，若點H在x軸負半軸上，OH=2GE，點M（0，m）在y軸正半軸上，連接PM、PH，∠HPM=2∠BHP，PH=2PM，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由ax²-2ax-3a=0時，解得x=3或-1，推出A（-1，0），B（3，0），推出OA=1，OB=3，推出OC=OB=3，推出-3a=3，可得a=-1，即可解決問題；
（2）如圖1中，作PE⊥x軸于E，PK⊥y軸于K．P（t，-t²+2t+3，由∠PAE=∠DAO，可得tan∠PAE=tan∠DAO，可得$\frac{PE}{AE}$=$\frac{DO}{AO}$，即$\frac{-{t}^{2}+2t+3}{t+1}$=$\frac{OD}{1}$，可得OD=3-t，CD=3-OD=t，再根據S=$\frac{1}{2}$PK•CD=計算即可；
（3）首先證明△PKM≌△PKN，推出PM=PN，MK=NK，再證明△HON≌△PKN，推出PK=HO，由∠3=∠5，可得tan∠3=tan∠5，可得$\frac{GE}{AE}$=$\frac{BE}{PE}$，BE=OB-OE=3-t，即$\frac{GE}{t+1}$=$\frac{3-t}{-{t}^{2}+2t+3}$，可得GE=1，推出OH=2EG=2，推出PK=2，PE=3，推出OK=3=OC，推出點K與點C重合，由此即可解決問題．

解答 解：（1）當ax²-2ax-3a=0時，解得x=3或-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∴OC=OB=3，
∴-3a=3，
∴a=-1，
∴y=-x²+2x+3．

（2）如圖1中，作PE⊥x軸于E，PK⊥y軸于K．

∵點P在第一象限，橫坐標為t，
∴P（t，-t²+2t+3），
∵∠PKO=∠COB=∠PEO=90°，
∴四邊形KPEO是矩形，
∴PK=OE=t，PE=OK，
∴PE=-t²+2t+3，AE=t+1，
∵∠PAE=∠DAO，
∴tan∠PAE=tan∠DAO，
∴$\frac{PE}{AE}$=$\frac{DO}{AO}$，
∴$\frac{-{t}^{2}+2t+3}{t+1}$=$\frac{OD}{1}$，
∴OD=3-t，
∴CD=3-OD=t，
∴S=$\frac{1}{2}$PK•CD=$\frac{1}{2}$t²．

（3）設PH交y軸于點N．

∵∠PKO=∠PKM=∠HON=90°，
∴PK∥x軸，
∴∠1=∠PHB，
∵∠MPH=2∠PHB，
∴MPH=2∠1，即∠1=∠2，
∵∠PKM=∠PKN，PK=PK，
∴△PKM≌△PKN，
∴PM=PN，MK=NK，
∵PH=2PM，
∴PN=HN，
∵∠HON=∠PKN，∠1=∠BHP，
∴△HON≌△PKN，
∴PK=HO，KN=ON，
∵AF⊥PB，
∴∠AFB=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠PEB=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠5，
∴tan∠3=tan∠5，
∴$\frac{GE}{AE}$=$\frac{BE}{PE}$，∵BE=OB-OE=3-t，
∴$\frac{GE}{t+1}$=$\frac{3-t}{-{t}^{2}+2t+3}$，
∴GE=1，
∴OH=2EG=2，
∴PK=2，PE=3，
∴OK=3=OC，
∴點K與點C重合，
∴KN=$\frac{3}{2}$，
∴OM=3KN=$\frac{9}{2}$，即m=$\frac{9}{2}$

點評 本題考查二次函數綜合題、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．