Question

13．探索與證明：
如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC上的中點，EF⊥AE于點E，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．
（1）求證：AE=EF；
（2）如果點E是BC邊上異于B、C的任意一點，其他條件不變，AE=EF嗎？并證明．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點H，連接EH，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，得出對應(yīng)邊相等即可；
（2）在AB上截取BH=BE，連接HE，則△BHE是等腰直角三角形，AH=CE，證出∠AHE=∠ECF，∠1=∠2，由ASA證明△AHE≌△ECF，得出對應(yīng)邊相等即可．

解答 （1）證明：取AB的中點H，連接EH；如圖1所示：
則AH=BH=$\frac{1}{2}$AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC，
∵點E是BC上的中點，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴AH=BH=BE=CE，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴∠BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∵CF是正方形外角的平分線，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AHE=∠ECF，
∵AE⊥EF，
∴∠2+∠AEB=90°，
∵∠1+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
在△AHE和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{AH=CE}&{\;}\\{∠AHE=∠ECF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）解：AE=EF；理由如下：
在AB上截取BH=BE，連接HE，如圖2所示：
則△BHE是等腰直角三角形，AH=CE，
∴BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∴∠1+∠HEA=45°，
由（1）得：∠ECF=135°，
∴∠AHE=∠ECF，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠1+∠CEF=45°，
∴∠1=∠2，
在△AHE和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{AH=CE}&{\;}\\{∠AHE=∠ECF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．