Question

10．已知：C是AB上的一點，以AC為邊作等邊△ACD，以BC為邊向AD所在的一側作等邊△BCE，AE、CD相交于F，BD、CE相交于G．求證：CF=CG．

Answer 1

分析 先根據(jù)SAS即可證明△ACE≌△BCD；再證明△DCG≌△ACF，從而得出CG=CF．

解答 解：∵△DAC是等邊三角形，
∴AC=DC，∠ACD=60°，
∵△BCE為等邊三角形，
∴CE=CB，∠ECB=60°，
∴∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
∴∠CAE=∠CDB，
∵∠ACD=∠ECB=60°
∴∠DCG=60°
∴∠ACD=∠DCG，
在△ACF和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠CDG}\\{AC=DC}\\{∠ACD=∠DCG}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△DCG（SAS），
∴CG=CF．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質以及等邊三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是證明三角形全等．