Question

7．已知點A、B的坐標分別為（-2，3）和（1，3），拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）的頂點在線段AB上，平移該拋物線使其頂點在線段AB上運動，在運動過程中，拋物線與x軸交于C、D兩點（點C在點D的左側），給出下列結論：
①c＜3；
②當x＜-3時，y隨x的增大而增大；
③若點D的橫坐標的最大值為5，則點C的橫坐標的最小值為-5；
④當四邊形ACDB為平行四邊形時，a=-$\frac{4}{3}$，
其中正確結論的序號是②④．

Answer 1

分析 根據(jù)頂點在線段AB上拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）可以判斷出c的取值范圍，得到①錯誤；根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷出②正確；先確定x=1時，點D的橫坐標取得最大值，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出此時點C的橫坐標，即可判斷③錯誤；令y=0，利用根與系數(shù)的關系與頂點的縱坐標求出CD的長度的表達式，然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判斷出④正確，可得出答案．

解答 解：∵點A，B的坐標分別為（-2，3）和（1，3），
∴線段AB與y軸的交點坐標為（0，3），
又∵拋物線的頂點在線段AB上運動，拋物線與y軸的交點坐標為（0，c），
∴c≤3，（頂點在y軸上時取“=”），故①錯誤；
∵拋物線的頂點在線段AB上運動，
∴當x＜-2時，y隨x的增大而增大，
因此，當x＜-3時，y隨x的增大而增大，故②正確；
若點D的橫坐標最大值為5，則此時對稱軸為直線x=1，
根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，點C的橫坐標最小值為-2-4=-6，故③錯誤；
根據(jù)頂點坐標公式，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=3，
令y=0，則ax²+bx+c=0，
CD²=（-$\frac{a}$）²-4×$\frac{c}{a}$=$\frac{^{2}-4ac}{{a}^{2}}$，
根據(jù)頂點坐標公式，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=3，
∴$\frac{^{2}-4ac}{a}$=-12，
∴CD²=$\frac{1}{a}$×（-12）=$\frac{12}{-a}$，
∵四邊形ACDB為平行四邊形，
∴CD=AB=1-（-2）=3，
∴$\frac{12}{-a}$=3²=9，
解得a=-$\frac{4}{3}$，故④正確；
綜上所述，正確的結論有②④．
故答案為：②④．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的頂點坐標，二次函數(shù)的對稱性，根與系數(shù)的關系，平行四邊形的對邊平行且相等的性質．在判斷①要注意頂點在y軸上的情況．本題知識點較多，綜合性較強，有一定的難度，容易出現(xiàn)錯誤．