Question

17．如圖，在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面五個結(jié)論：①AS=AR；②PQ∥AR；③∠SPC+∠BPR=∠PQC；④S_{四邊形ARPQ}=$\frac{1}{2}$S_△ABC；⑤BR+CS=SQ．其中正確的結(jié)論有（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 連接AP，△APR≌△APS，可得AS=AR；∠PQC=∠APQ+∠QAP=2∠QAP=∠PAB+∠PAQ=∠BAQ，則PQ∥AB；∠SPC+∠BPR=90°-∠C+90°-∠B=180°-（∠B+∠C）=∠BAC=∠PQC；依此判斷①②③正確；根據(jù)已知條件不能得出④⑤正確．

解答 解：連接AP，
在△APR和△APS中，
∵∠ARP=∠ASP=90°，
∴在Rt△APR和Rt△APS中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{PR=PS}\end{array}\right.$，
∴△APR≌△APS（HL），
∴AS=AR，故①正確；
∠BAP=∠SAP，
∴∠SAB=∠BAP+∠SAP=2∠SAP，
在△AQP中，
∵AQ=PQ，
∴∠QAP=∠APQ，
∴∠CQP=∠QAP+∠APQ=2∠QAP=2∠SAP．
∴PQ∥AB，故②正確；
∵∠SPC=90°-∠C，∠BPR=90°-∠B，
∴∠SPC+∠BPR=90°-∠C+90°-∠B=180°-（∠B+∠C）=∠BAC，
∵PQ∥AB，
∴∠BAC=∠PQC，
∴∠SPC+∠BPR=∠PQC，故③正確；
∵S_{四邊形ARPQ}=S_△APR+S_△APQ=$\frac{1}{2}$AR•PR+$\frac{1}{2}$AQ•PS=$\frac{1}{2}$PR（AR+AQ），
S_△ABC=S_△APB+S_△APC=$\frac{1}{2}$AB•PR+$\frac{1}{2}$AC•PS=$\frac{1}{2}$PR（AB+AC），
根據(jù)已知條件不能得出AR+AQ=$\frac{1}{2}$（AB+AC），故④錯誤；
根據(jù)已知條件不能得出BR+CS=SQ，故⑤錯誤．
故選C．

點評 此題考查了角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定和平行線的判定定理；正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．