Question

11．如圖，已知：如圖，在直角坐標(biāo)系中，有菱形OABC，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），對(duì)角線OB、AC相交于D點(diǎn)，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過D點(diǎn)，交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，且OB•AC=160，有下列四個(gè)結(jié)論：
①雙曲線的解析式為y=$\frac{40}{x}$（x＞0）；
②E點(diǎn)的坐標(biāo)是（5，8）；
③sin∠COA=$\frac{4}{5}$；
④AC+OB=12$\sqrt{5}$．
其中正確的結(jié)論有③④（填上序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①過點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式可求出線段CM的長(zhǎng)度，利用勾股定理可得出線段OM的長(zhǎng)度，由此可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由點(diǎn)D為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出k值，從而得知①不成立；②根據(jù)雙曲線的解析式結(jié)合點(diǎn)E的縱坐標(biāo)即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而得出②不成立；③由線段CM、OC的長(zhǎng)度結(jié)合角的正弦的定義即可得出③成立；④在Rt△CMA中，利用勾股定理即可得出線段AC的長(zhǎng)度，再由OB•AC=160可得出線段OB的長(zhǎng)度，從而得出④成立．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：①過點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，如圖1所示．
∵OB•AC=160，四邊形OABC為菱形，
∴S_△OCA=$\frac{1}{2}$OA•CM=$\frac{1}{4}$OB•AC=40，
∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），
∴CM=8，OM=$\sqrt{O{C}^{2}-C{M}^{2}}$=6，
∴點(diǎn)C（6，8），點(diǎn)B（16，8）．
∵點(diǎn)D為線段OB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D（8，4），
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過D點(diǎn)，
∴k=8×4=32，
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{32}{x}$（x＞0），
∴①不正確；
②∵點(diǎn)E在雙曲線y=$\frac{32}{x}$（x＞0）的圖象上，且E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，
∴32÷8=4，
∴點(diǎn)E（4，8），
∴②不正確；
③∵sin∠COA=$\frac{CM}{OC}$=$\frac{4}{5}$，
∴③正確；
④在Rt△CMA中，CM=8，AM=OA-OM=10-6=4，
∴AC=$\sqrt{C{M}^{2}+A{M}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵OB•AC=160，
∴OB=8$\sqrt{5}$，
∴AC+OB=12$\sqrt{5}$．
∴④成立．
綜上可知：③④成立．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)的解析式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，結(jié)合菱形的性質(zhì)以及三角形的面積公式找出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出反比例函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．