Question

11．如圖所示是反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象，A，B為該圖象上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AB=4，若點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，則線段OM的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 設(shè)A（a，$\frac{2}{a}$），B（b，$\frac{2}$），先利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到M（$\frac{a+b}{2}$，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$），則利用兩點(diǎn)間的距離公式得到（a-b）²+（$\frac{2}{a}$-$\frac{2}$）²=16，變形為a²+b²+$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$=16+2ab+$\frac{8}{ab}$，由于OM²=（$\frac{a+b}{2}$）²+（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）²，然后根據(jù)代數(shù)式的變形得到OM²=8+（$\sqrt{ab}$-$\frac{2}{\sqrt{ab}}$）²，于是可判斷OM的最小值為2$\sqrt{2}$．

解答 解：設(shè)A（a，$\frac{2}{a}$），B（b，$\frac{2}$），
∵M(jìn)點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，
∴M（$\frac{a+b}{2}$，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$），
∵AB=4，
∴（a-b）²+（$\frac{2}{a}$-$\frac{2}$）²=16，
即a²+b²-2ab+$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$-$\frac{8}{ab}$=16，
∴a²+b²+$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$=16+2ab+$\frac{8}{ab}$，
∴OM²=（$\frac{a+b}{2}$）²+（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）²=$\frac{1}{4}$（a²+2ab+b²）+$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{ab}$+$\frac{1}{^{2}}$
=$\frac{1}{4}$（a²+b²+$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$）+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{2}{ab}$
=4+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{2}{ab}$+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{2}{ab}$
=4+ab+$\frac{4}{ab}$，
=8+（$\sqrt{ab}$-$\frac{2}{\sqrt{ab}}$）²，
∴OM²≥8，
∴OM的最小值為2$\sqrt{2}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式．