Question

15．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D．
（1）如圖（1），AC=BC，點E，F(xiàn)分別在AC，BC上，∠EDF=90°，則DE與DF的數(shù)量關系為DE=DF．
（2）如圖（2），AC=BC，延長BC到點F，沿CA方向平移線段CF到EG，且點G在邊BA的延長線上，求證：DE=DF，DE⊥DF；
（3）如圖（3），∠B=30°，延長BC到點F，沿CA方向平移線段CF到EG，且點G在邊BA的延長線上，直接寫出線段DE與DF的位置關系和數(shù)量關系．

Answer 1

分析 （1）欲證明DE=DF，只要證明△ADE≌△CDF即可．
（2）欲證明DE=DF，DE⊥DF，只要證明△ADE≌△CDF．
（3）欲證明DF=$\sqrt{3}$DE，DE⊥DF，只要證明△DCF∽△DAE相似比是$\sqrt{3}$即可．

解答 （1）證明：如圖（1）中，

∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，AD=DC=DB，
∵∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
故答案為DE=DF．
（2）證明：如圖（2）中，

∵CF=GE，CF∥EG，
∴四邊形CEGF是平行四邊形，
∴CE∥FG，
∴∠CAB=∠FGA=45°
∵∠ECF=∠ACB=90°，
∴四邊形CEGF是矩形，
∴∠GEA=∠FGE=90°，
∴∠AGF=∠GAF=45°，
∴GE=AE=CF，
∵CD=DA=DB，∠DCB=∠GAE=45°，
∴∠FCD=∠DAE=135°，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DA}\\{∠FCD=∠EAD}\\{CF=AE}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△DAE，
∴DE=DF，∠EDA=∠FDC，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴DE⊥DF．
（3）結(jié)論：DF=$\sqrt{3}$DE，DE⊥DF，
理由：如圖（3）中，

由（2）可知四邊形CEGF是矩形，
∴∠GEA=90°，
∵∠B=30°，CD⊥AB，
∴∠DCB=60°，∠FCD=120°，∠CAB=∠GAE=60°，
∴∠EAD=120°，
∴∠FCD=∠EAD，
∵CD=$\sqrt{3}AD$，EG=CF=$\sqrt{3}$AE，
∴CD$\frac{CD}{AD}=\frac{CF}{AE}=\sqrt{3}$，
∴△DCF∽△DAE，
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{DC}{AD}=\sqrt{3}$，∠FCD=∠EDA，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴DF=$\sqrt{3}$DE，DF⊥DE．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．