Question

16．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，∠ACB的平分線交AD于點E，交AB于點F，F(xiàn)G⊥BC于點G．求證：AE=FG．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線上的點到兩邊的距離相等可得：FG=FA；則只要在確定FA與AE的關系即可確定AE與FG之間的關系；在直角三角形AFC中∠AFC+∠ACF=90°，在直角三角形CDE中，∠DEC+∠ECD=90°，根據(jù)角平分線的性質可知：∠ACF=∠DCE，則∠AFC=∠DEC，又知∠AEF=∠DEC，則∠AFC=∠AEF，所以AE=FA，則AE=FG．

解答 證明：∵CF平分∠ACB，F(xiàn)A⊥AC，F(xiàn)G⊥BC
∴FG=FA
∵∠AFC+∠ACF=90°，∠DEC+∠ECD=90°，且∠ACF=∠ECD
∴∠AFC=∠DEC
∵∠AEF=∠DEC
∴∠AFC=∠AEF
∴AE=FA
∴AE=FG．

點評 本題主要考查了等腰三角形的判定和性質，角平分線的性質；解題時利用了AF這個中間量進行了等量代換是解答本題的關鍵．