Question

1．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面積為6，則cos∠BOE=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 如圖作OM∥BC交AB于M，連接EC，先利用四點(diǎn)共圓證明∠BOE=∠ECB，再根據(jù)△AOE面積求出AE，可以證明AE=EC，由cos∠BOE=cos∠ECB=$\frac{BC}{EC}$即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖作OM∥BC交AB于M，連接EC．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AO=OC，
∵EO⊥AC，
∴EA=EC，
∵∠EBC+∠EOC=180°，
∴E、B、C、O四點(diǎn)共圓，
∴∠BOE=∠ECB，
∵OM∥BC，AO=OC，
∴AM=BM．OM=$\frac{1}{2}$BC=2，∠AMO=∠ABC=90°，
∵S_△AOE=6，
∴$\frac{1}{2}$•AE•OM=6，
∴AE=EC=6，
∴cos∠BOE=cos∠ECB=$\frac{BC}{EC}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定和性質(zhì)、三角形面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用四點(diǎn)共圓證明∠BOE=∠ECB，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考�？碱}型．