Question

17．直線y=-x+1交y軸于C點(diǎn)，直線y=-$\frac{1}{2}$x，兩條直線分別交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＜0）于B、A兩點(diǎn)，若$\frac{OA}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
（1）求k的值；
（2）求四邊形OABC的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，-n+1），由此得出OA及BC的長(zhǎng)度，結(jié)合OA、BC間的比例可得出m=2n，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征可求出m、n、k的值．
（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，作BE⊥y軸于點(diǎn)F，通過(guò)分割五邊形ADOFB，結(jié)合三角形、梯形的面積公式即可求出四邊形OABC的面積．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，-n+1），
則OA=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$m，BC=-$\sqrt{2}$n，
∵$\frac{OA}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴m=2n．
又∵k=m•（-$\frac{1}{2}$m）=n•（-n+1），
解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=-1}\\{k=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{n=0}\\{k=0}\end{array}\right.$（舍去）．
故k的值為-2．
（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，作BE⊥y軸于點(diǎn)F，如圖所示．

∵n=-1，m=2n=-2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，2），
令y=-x+1中的x=0，則y=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）．
∴S_{四邊形AOCB}=S_矩形BEOF+S_梯形ADEB-S_△AOD-S_△BCF，
=|k|+$\frac{1}{2}$（AD+BE）•DE-$\frac{1}{2}$|k|-$\frac{1}{2}$BF•CF，
=2+$\frac{1}{2}$×（1+2）×1-$\frac{1}{2}$×2-$\frac{1}{2}$×1×1，
=2+$\frac{3}{2}$-1-$\frac{1}{2}$，
=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、三角形的面積公式以及梯形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）依照比例找出m=2n；（2）分割圖形求面積．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，通過(guò)分割圖形再結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出所求圖形的面積是關(guān)鍵．