Question

10．在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（-3，0），（3，0），點P在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，若△PAB為直角三角形，求點P的坐標．

Answer 1

分析 分類討論：①當∠PAB=90°時，則P點的橫坐標為-3，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征易得P點坐標為（-3，-$\frac{2}{3}$）；②當∠APB=90°，設(shè)P（x，$\frac{2}{x}$），根據(jù)兩點間的距離公式和勾股定理可得（x+3）²+（$\frac{2}{x}$）²+（x-3）²+（$\frac{2}{x}$）²=36，解得x=±$\sqrt{\frac{9+\sqrt{65}}{2}}$或x=±$\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{2}}$，然后計算出y的值，所以此時P點坐標為（$\frac{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}{2}$，$\frac{4}{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}$）或（-$\frac{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}{2}$，-$\frac{4}{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}$）或（$\frac{\sqrt{18-\sqrt{65}}}{2}$，$\frac{4}{\sqrt{18-2\sqrt{65}}}$）或（-$\frac{\sqrt{18-\sqrt{65}}}{2}$，-$\frac{4}{\sqrt{18-2\sqrt{65}}}$），③當∠PBA=90°時，P點的橫坐標為3，此時P（3，$\frac{2}{3}$）．

解答 解：①當∠PAB=90°時，P點的橫坐標為-3，把x=-3代入y=$\frac{2}{x}$得y=-$\frac{2}{3}$，所以此時P（-3，-$\frac{2}{3}$）；
②當∠APB=90°，設(shè)P（x，$\frac{2}{x}$），PA²=（x+3）²+（$\frac{2}{x}$）²，PB²=（x-3）²+（$\frac{2}{x}$）²，AB²=（3+3）²=36，
因為PA²+PB²=AB²，
所以（x+3）²+（$\frac{2}{x}$）²+（x-3）²+（$\frac{2}{x}$）²=36，
整理得x⁴-9x²+4=0，所以x²=$\frac{9+\sqrt{65}}{2}$，或x²=$\frac{9-\sqrt{65}}{2}$，
∴x₁=$\frac{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}{2}$，x₂=-$\frac{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}{2}$，x₃=$\frac{\sqrt{18-\sqrt{65}}}{2}$，x₄=-$\frac{\sqrt{18-\sqrt{65}}}{2}$，
∴此時P的坐標為（$\frac{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}{2}$，$\frac{4}{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}$）或（-$\frac{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}{2}$，-$\frac{4}{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}$）或（$\frac{\sqrt{18-\sqrt{65}}}{2}$，$\frac{4}{\sqrt{18-2\sqrt{65}}}$）或（-$\frac{\sqrt{18-\sqrt{65}}}{2}$，-$\frac{4}{\sqrt{18-2\sqrt{65}}}$），
③當∠PBA=90°時，P點的橫坐標為3，把x=3代入y=$\frac{2}{x}$得y=$\frac{2}{3}$，所以此時P（3，$\frac{2}{3}$）；
綜上所述，滿足條件的P點為（-3，-$\frac{2}{3}$）或（$\frac{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}{2}$，$\frac{4}{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}$）或（-$\frac{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}{2}$，-$\frac{4}{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}$）或（$\frac{\sqrt{18-\sqrt{65}}}{2}$，$\frac{4}{\sqrt{18-2\sqrt{65}}}$）或（-$\frac{\sqrt{18-\sqrt{65}}}{2}$，-$\frac{4}{\sqrt{18-2\sqrt{65}}}$）或（3，$\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．