Question

2．已知：如圖，△ABC中，AC=BC，CD⊥AB，垂足是D，點E是線段CD上一點，AE的延長線交BC于F．過B作AC的平行線交AE的延長線于G．
（1）求證：∠G=∠CBE；
（2）若AE=2EF，那么GF和EF有何數(shù)量關系？請寫出你的結(jié)論并予以證明；
（3）若AE=nEF（其中n＞1），那么GF和EF又有何數(shù)量關系？請直接寫出你的結(jié)論，不必證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACD=∠BCD，證明△ACE≌△BCE，得到∠CAE=∠CBE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CAE=∠G，等量代換得到答案；
（2）作FH∥AB交CD于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出GF=FA，根據(jù)已知條件計算即可；
（3）與（2）的作法類似，結(jié)果用n表示即可．

解答 （1）證明：∵AC=BC，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD，AD=BD，
在△ACE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACE=∠BCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCE，
∴∠CAE=∠CBE，
∵BG∥AC，
∴∠CAE=∠G，
∴∠G=∠CBE；
（2）如圖，作FH∥AB交CD于H，
∴$\frac{FH}{AD}$=$\frac{FE}{EA}$=$\frac{1}{2}$，又AD=BD，
∴HF=$\frac{1}{2}$DB，
∵FH∥AB，
∴$\frac{CF}{CB}$=$\frac{HF}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=BF，
∵BG∥AC，
∴$\frac{GF}{FA}$=$\frac{BF}{FC}$=1，
∴GF=FA，又AE=2EF，
∴GF=3EF；
（3）∵AE=nEF，
∴$\frac{EF}{EA}$=$\frac{1}{n}$，
由（2）得，$\frac{CF}{CB}$=$\frac{HF}{BD}$=$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{CF}{FB}$=$\frac{1}{n-1}$，
∴$\frac{GF}{FA}$=n-1，
∵AE=nEF，
∴FA=（n+1）FE，
∴GF=（n²-1）EF．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理的應用，掌握等腰三角形的三線合一、相似三角形的判定定理是解題的關鍵．