Question

19．如圖，在矩形ABCD中，點P在邊CD上，且與C、D不重合，過點A作AP的垂線與CB的延長線相交于點Q，連接PQ，M為PQ中點．
（1）求證：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，點P在邊CD上運動，設(shè)DP=x，BM²=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線段BM的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠D=∠ABC=90°，∠DAB=90°，求出∠QAB=∠DAP，∠ABQ=∠D，根據(jù)相似三角形的判定得出即可；
（2）作MN⊥QC，根據(jù)相似三角形的判定得出△MQN∽△PQC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{MN}{PC}=\frac{QM}{QP}$，求出$\frac{MN}{PC}=\frac{QM}{QP}=\frac{QN}{QC}$=$\frac{1}{2}$，求出PC=20-x，MN=$\frac{1}{2}$（20-x），QN=$\frac{1}{2}$（QB+10），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BQ，求出BN=x-5，根據(jù)勾股定理得出y=$\frac{5}{4}$x²-20x+125（0≤x≤20），化成頂點式，即可求出最值．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABC=90°，∠DAB=90°，
∴∠ABQ=90°=∠D，
∵AQ⊥AP，
∴∠QAP=∠DAB=90°，
∴∠DAP=∠QAB=90°-∠BAP，
即∠QAB=∠DAP，∠ABQ=∠D，
∴△ADP∽△ABQ；

（2）解：作MN⊥QC，則∠QNM=∠QCD=90°，
又∵∠MQN=∠PQC
∴△MQN∽△PQC，
∴$\frac{MN}{PC}=\frac{QM}{QP}$，
∵∠C=∠MNQ=90°，
∴MN∥PC，
∵M(jìn)為PQ的中點，
∴N為CQ的中點，
∴$\frac{MN}{PC}=\frac{QM}{QP}=\frac{QN}{QC}$=$\frac{1}{2}$，
又∵PC=DC-DP=20-x
∴MN=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$（20-x），QN=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$（QB+10），
∵△ADP∽△ABQ
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DP}{BQ}$，
∴$\frac{10}{20}$=$\frac{x}{BQ}$，
∴BQ=2x，
∵QN=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$（QB+10）=$\frac{1}{2}$（2x+10）=x+5，
∴BN=QB-QN=2x-（x+5）=x-5，
在Rt△MBN中，由勾股定理得：BM²=MN²+BN²=[$\frac{1}{2}$（20-x）]²+（x-5）²，
即：y=$\frac{5}{4}$x²-20x+125，（0≤x≤20），
當(dāng)x=8，即DP=8時，線段BM長的最小值=$\sqrt{45}$=3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的最值，矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，能綜合運用定理進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度偏大．