Question

9．如圖，矩形ABCD中，BC=3，且BC＞AB，E為AB邊上任意一點(diǎn)（不與A，B重合），設(shè)BE=t，將△BCE沿CE對折，得到△FCE，延長EF交CD的延長線于點(diǎn)G，則tan∠CGE=$\frac{6t}{9-{t}^{2}}$（用含t的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 連接BF交EC于O，作EM⊥CD于M，因?yàn)閠an∠CGE=$\frac{EM}{GM}$，所以只要用t的代數(shù)式表示EM、GM，由四邊形EMCB是矩形可以求出EM，利用△CBF∽△GCE，可以求出GC，這樣即可解決問題．

解答 解：如圖連接BF交EC于O，作EM⊥CD于M，
∵∠EMC=∠EBC=∠BCM=90°，
∴四邊形EBCM是矩形，
∴CM=EB=t，EM=BC=3，
在RT△EBC中，∵EB=t，BC=3，
∴EC=$\sqrt{{t}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+9}$，
∵EB=EF，CB=CF，
∴EC垂直平分BF，
∵$\frac{1}{2}$•EC•BO=$\frac{1}{2}$•EB•BC，
∴BO=$\frac{3t}{\sqrt{{t}^{2}+9}}$，BF=2BO=$\frac{6t}{\sqrt{{t}^{2}+9}}$
∵∠AEF+∠BEF=180°，∠BEF+∠BCF=180°，
∴∠AEF=∠BCF，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠ECG=∠CEF，∠AEF=∠G=∠BCF
∴GE=GC，
∴∠GCE=∠GEC=∠CFB=∠CBF，
∴△CBF∽△GCE，
∴$\frac{GC}{BC}=\frac{EC}{BF}$，
∴GC=$\frac{{t}^{2}+9}{2t}$，GM=GC-CM=$\frac{9-{t}^{2}}{2t}$，
∴tan∠CGE=$\frac{EM}{GM}$=$\frac{6t}{9-{t}^{2}}$．
故答案為$\frac{6t}{9-{t}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會利用翻折不變性找到相等的邊以及角，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．